压轴大题拉分练(06)(满分:24分时间:30分钟)1.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上一点,若PF1⊥PF2,|F1F2|=2,△PF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB,求证:+为定值,并求出该定值.解:(1)由已知,|PF1|2+|PF2|2=12,|PF1||PF2|=1,又2a=|PF1|+|PF2|,∴4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16,a2=4,b2=a2-c2=4-()2=1,∴椭圆C的方程为:+y2=1.(2)①当A,B是椭圆顶点时,+=.②当A,B不是椭圆顶点时,设lOA:y=kx,lOB:y=-x,由得xA=,|OA|2=,同理xB=,|OB|2=,+=+==.综上,+为定值.2.(12分)已知函数f(x)=alnx+(1-a)x+(a∈R).(1)a>1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设∃m,n∈[1,3],使不等式|f(m)-f(n)|>(k+ln3)(2-a)-2ln3对任意的a∈(2,4)恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)已知函数定义域为(0,+∞),f′(x)=-+1-a==,已知a>1,令f′(x)=0,x1=1,x2=,当a=2时,x1=1=x2,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上递减;当1<a<2时,x2=>x1=1,∴f(x)在(0,1)上递减,在上递增,在上递减;当a>2时,x1=1>x2=,∴f(x)在上递减,在上递增,在(1,+∞)上递减.(2)由(1)知,当a∈(2,4)时,f(x)在(1,+∞)上递减,当x∈[1,3]时,f(x)max=f(1)=1-a+1=2-a,f(x)min=f(3)=aln3++3-3a=aln3-3a+,原问题等价于:对任意的a∈(2,4),恒有(k+ln3)(2-a)-2ln3<2-a-成立,即k>===-2-,当a=4时,取得最大值-,∴k>-.