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高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课后导练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

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4.2用数学归纳法证明不等式课后导练基础达标1利用数学归纳法证明不等式“nn2n3,n0为验证的第一个值，则（）A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n0≥10D.n0=2答案：C5已知Sk=kkkk21312111(k=1,2,3，…),则Sk+1等于（）1A.Sk+)1(21kB.Sk+11221kkC.Sk+221121kkD.Sk+221121kk答案：C综合运用6证明不等式1+nn213121(n∈N).证明：1°当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右边.不等式成立.2°假设当n=k时，不等式成立，即1+kk213121,则当n=k+1时,1+1121113121kkkk(现在关键证明12112kkk). 12112kkk=1211)1(121112kkkkkkkk(基本不等式放缩)=1212kk=0,∴12112kkk,即当n=k+1时,原不等式成立，由1°、2°,可知对任意n∈N,原不等式成立.7设n>1,n∈N,证明21121111nknnnn>1.证明：1°当n=2时，左边=1213413121>1,不等式成立;2°假设当n=k(k≥2)时，原不等式成立，即2121111kkkk>1,则当n=k+1时,左边比n=k时增添了kkkkkk1)1(131211112222项22212222)1(11)1(121)1(1)2(1)1(1kkkkkkkkkkkk项22)1(1)1(kkkk>0(k≥2).故当n=k+1时，不等式成立.由1°，2°,可知对任意n∈N,n≥1，原不等式成立.8已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n>1且n∈N时，试证明an+cn>2bn.证明：（1）当n=2时， a2+c2>2(2ca)2=2b2,即命题成立.（2）设当n=k(k≥2)时，有ak+ck>2bk.由于a,c为正数，所以(ak-ck)与a-c同号，即（ak-ck）(a-c)>0,亦即ak+1+ck+1>akc+ack,∴ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>21(ak+1+ck+1+akc+ack)=21(ak+ck)(a+c)=(ak+ck)b>2bk+1,即n=k+1时成立.由（1）、（2）,知对于n>1且n∈N时命题成立.拓展探究9已知x1>0,x1≠1且xn+1=13)3(22nnnxxx(n=1,2,3,…)，试证：数列{xn}或者对任意n∈N都满足xnxn+1.证明：由于xn+1-xn=13)3(22nnnxxx-xn=13)1(222nnnxxx且x1>0,又由题设可知对任意n∈N,有xn>0,故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x1<1与x1>1两种情况讨论.（1）若x1<1,用数归纳法证明1-xn2>0.1°当n=1时，1-x12>0成立.2°假设当n=k时，1-xk2>0成立，则当n=k+1时，1-xk+12=1-［13)3(22kkkxxx］2=2232)13()1(kkxx>0，即当n=k+1时，有1-xk+12>0成立.故对任意n∈N,都有1-xn2>0,∴对任意n∈N,有xn+1>xn.(2)若x1>1，同样可证，对任意n∈N,1-xn2<0,此时有xn+11.证明：用数学归纳法.当n=3时，64814334>1,命题成立.根据归纳假设，当n=k(k≥3)时，命题成立，即kkkk)1(1>1.①要证明n=k+1时，命题也成立，即312)2()1(kkkk>1.②要用①来证明②，事实上，对不等式①两边乘以122)2()1(kkkk,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证明122)]2([)1(kkkkk>1.③因为（k+1）2k+2=(k2+2k+1)k+1>(k2+2k)k+1,这就证明了③式.由①②③知对于n≥3,n∈N,命题成立.11设0
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