高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课后导练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

2用数学归纳法证明不等式课后导练基础达标1利用数学归纳法证明不等式“nn21

证明：1°当n=2时，左边=1213413121>1,不等式成立;2°假设当n=k(k≥2)时，原不等式成立，即2121111kkkk>1,则当n=k+1时,左边比n=k时增添了kkkkkk1)1(131211112222项22212222)1(11)1(121)1(1)2(1)1(1kkkkkkkkkkkk项22)1(1)1(kkkk>0(k≥2)

故当n=k+1时，不等式成立

由1°，2°,可知对任意n∈N,n≥1，原不等式成立

8已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n>1且n∈N时，试证明an+cn>2bn

证明：（1）当n=2时， a2+c2>2(2ca)2=2b2,即命题成立

（2）设当n=k(k≥2)时，有ak+ck>2bk

由于a,c为正数，所以(ak-ck)与a-c同号，即（ak-ck）(a-c)>0,亦即ak+1+ck+1>akc+ack,∴ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>21(ak+1+ck+1+akc+ack)=21(ak+ck)(a+c)=(ak+ck)b>2bk+1,即n=k+1时成立

由（1）、（2）,知对于n>1且n∈N时命题成立

拓展探究9已知x1>0,x1≠1且xn+1=13)3(22nnnxxx(n=1,2,3,…)，试证：数列{xn}或者对任意n∈N都满足xnxn+1

证明：由于xn+1-xn=13)3(22nnnxxx-xn=13)1(222nnnxxx且x1>0,又由题设可知对任意n∈N,有xn>0,故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x11两