课时作业4复数的概念时间：45分钟1．设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为(B)A．ABCB．BACC．BCAD．ACB解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(A)A．2－2iB．2＋iC．－＋iD.＋i解析：∵2i－的虚部是2，i＋2i2的实部是－2，∴故选A.3．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是(A)A．a＝0B．a＝0且b≠0C．a≠0且b＝0D．a≠0且b≠0解析：由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由“且”字连接的复合命题“a＝0且b≠0”的子命题“a＝0”或“b≠0”．故选A.4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(A)A．－1B．0C．1D．－1或1解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，∴x2－1＝0且x－1≠0，∴x＝－1.故选A.5．已知下列命题：①复数a＋bi(a，b∈R)不是实数；②两个复数不能比较大小；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④若z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；⑤若a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.其中真命题的个数是(A)A．0B．1C．3D．4解析：根据复数的有关概念判断命题的真假．①当a∈R，且b＝0时，a＋bi是实数．②当两个复数都是实数时，两个复数可以比较大小，两个复数至少有一个是虚数时，两个复数不能比较大小．③当x＝－2时，对应的复数为实数，由纯虚数的条件得解得x＝2.④没有强调a，b∈R这一非常重要的条件．⑤没有强调a，b，c，d∈R这一非常重要的条件．故题中5个命题都是假命题．6．若(a－2i)i＝b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2等于(D)A．0B．2C.D．5解析：由(a－2i)i＝b－i，有ai－2i2＝2＋ai＝b－i，由复数相等的充要条件有故a2＋b2＝1＋4＝5，故选D.7．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为(B)A．4B．－1C．4或－1D．－1或6解析：由题意得解得m＝－1.故选B.8．若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m＋1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(A)A．4或0B．－4或0C．2或0D．－2或0解析：由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3，且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.9．已知复数z＝m2(1＋i)－(m＋i)(m∈R)．若z是实数，则m的值为±1；若z为虚数，则m的取值范围是m≠±1；若z是纯虚数，则m的值为0.解析：z＝m2－m＋(m2－1)i，实部为m2－m，虚部为m2－1.当m2－1＝0，即m＝±1时，z为实数；当m2－1≠0，即m≠±1时，z为虚数；当m2－m＝0且m2－1≠0，即m＝0时，z为纯虚数．10．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3cosθ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是[3,5]．解析：∵z1＝z2，∴∴λ＝4－cosθ.又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3,5]．11．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝－1.解析：根据题意得因此m＝－1.三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分12．若(5＋6i)x＋(2－3i)y＝10＋9i，求实数x，y的值．解：原式可以化为(5x＋2y)＋(6x－3y)i＝10＋9i，从而有解得13．已知复数z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，当实数m为何值时，①z是实数；②z＝4＋6i.解：z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i.①令m2－m－6＝0⇒m＝3或m＝－2.即m＝3或m＝－2时，z为实数．②根据复数相等的定义，得⇒m＝4.即m＝4时，z＝4＋6i.——素养提升——14．若m、n均为自然数，且log(m＋n)－(m2－3m)i>－1成立，则m＝0，n＝1.解析：因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有，由①得m＝0或m＝3.当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0且n∈N，所以n＝1；当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．综上可得m＝0，n＝1.15．解关于实数x的方程(1＋i)x2－(1－i)x－(2＋6i)＝0.解：原方程化为：(x2－x－2)＋(x2＋x－6)i＝0.∵x∈R，∴根据复数相等的定义，得解得x＝2，∴原方程的解为x＝2.
