题组层级快练(四十八)1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10答案B解析1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7.∴初始值至少应取8.2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.B.＋C.＋D.＋＋答案D3．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝__________.答案解析c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，故由归纳推理得cn＝.4．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明．答案(1)S1＝，S2＝，S3＝(2)Sn＝，证明略解析(1)由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.(2)猜想：Sn＝.证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝成立．则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝＝＝.从而n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．5．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)，(n∈N)．证明：an
0，所以ak－ak＋1<0.又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2.所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an1，n∈N*.证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.答案略证明用数学归纳法证明，①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．7．(2014·陕西理选编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式．答案gn(x)＝解析由题设，得g(x)＝(x≥0)．由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N*成立．8．(2015·衡水调研)首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；(2)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．答案(1)略(2)03解析(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系，得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．根据数学归纳法，可知对任何n∈N*，an都是奇数．(2)方法一：由an＋1－an＝(an－1)(an－3)，知当且仅当an<1或an>3时，an＋1>an.另一方面，若03，则ak＋1>＝3.根据数学归纳法，可知∀n∈N*,03⇔an>3.综上所述，对一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是03.方法二：由a2＝>a1，得a－4a1＋3>0.于是03.an＋1－an＝－＝.因为a1>0，an＋1＝，所以对任意n∈N*，an均大于0.因此an＋1－an与an－an－1同号．根据数学归纳法，可知∀n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号．因此，对于一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是03.
