http://tjnuihs.nease.net/index.htm/zelinxu@Sohu.com主讲人：徐泽林主讲人：徐泽林天津师范大学数学科学学院20世纪数学概观现代数学研究三大领域核心数学领域的扩张数学空前的广泛应用计算机与数学的影响与古典数学相比，现代数学的发展从思想方法的角度看具有一些新的特征，我们可以通过:数学的统一性、数学在自然科学和社会科学中的广泛应用、数学机械化的产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展这些方面来认识和理解现代数学的发展趋势。纯粹数学的主要特征或趋势更高的抽象化更高的抽象化更强的统一性更强的统一性更深入的基础探讨更深入的基础探讨第十一章20世纪数学概观-----纯粹数学的主要趋势§11.1§11.1新世纪的序幕新世纪的序幕§11.2§11.2更高的抽象更高的抽象11.2.1推动高度抽象的两大因素11.2.2勒贝格积分与实变函数论11.2.3泛函分析11.2.4抽象代数11.2.5拓扑学11.2.6公理化概率论§11.3§11.3数学的统一化数学的统一化微分拓扑与代数拓扑整体微分几何代数几何多复变函数论动力系统偏微分方程与泛函分析随机分析§11.4§11.4对基础的深入探讨对基础的深入探讨11.4.1集合论悖论11.4.2数学基础三大学派11.4.3数理逻辑的发展§11.1§11.1新世纪的序幕新世纪的序幕DavidHilbert希尔伯特的二十三个问题PaulCohen1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。（1）康托的连续统基数问题（2）算术公理系统的无矛盾性欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。KurtGödel（3）两等底等高四面体体积相等问题MaxDehn问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德恩（M.Dehn）1900年已解决。（4）两点间以直线为距离最短线问题此问题提的过于一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，前苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。（6）对数学起重要作用的物理学的公理化1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。AndreyKolmogorov（7）某些数的超越性的证明需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如，2√2和eπ)。前苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。AleksandrOGelfondCarlSiegel（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。§11.2§11.2更高的抽象更高的抽象11.2.1推动高度抽象的两大因素尽管集合论存在着悖论，公理化引发的相容性得不到证实，然而，20世纪数学的发展在很大程度上仍从中受益匪浅。集合论观点和公理化方法在向传统数学理论的渗透过程中，催生了许多数学新分支的形成，极大改观数学理论的传统面貌。11.2.2勒贝格积分与实变函数论HenriLebesgue集合论的观点在20世纪初首先引起了积...
