第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化A级基础巩固一、选择题1．方程(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的()A．(1，1)B.C.D.解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点在方程(θ为参数)所表示的曲线上．答案：C2．曲线与x轴交点的直角坐标是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，0)D．(±2，0)解析：设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，所以曲线与x轴的交点的直角坐标为(2，0)．答案：C3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以(t为参数)答案：A4．参数方程(θ为参数)化为普通方程是()A．2x－y＋4＝0B．2x＋y－4＝0C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．答案：D5．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲线C表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝＜3，所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d＜，故满足题意的点有2个．答案：B1二、填空题6．若x＝cosθ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．解析：把x＝cosθ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，得cos2θ＋(y＋1)2＝1，于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sinθ.由于参数θ的任意性，可取y＝－1＋sinθ，因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为(θ为参数)．答案：(θ为参数)7．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________________．解析：因为x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝08．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为________．解析：圆C的参数方程为圆心为(，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.答案：4三、解答题9．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．解：由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，又y＝3，则t＋＝(y≥6)．代入x2＝t＋－2，得x2＝－2，所以3x2－y＋6＝0(y≥6)．故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．10.如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA交OA于D，PB∥OA，试求点P的轨迹的参数方程．解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝2acos2θ，y＝AB＝OAtanθ＝2atanθ.所以点P的轨迹的参数方程为θ∈.B级能力提升1．当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点()A．(2，3)B．(1，5)2C.D．(2，0)解析：先将P(2cosθ，3sinθ)化为方程为＋＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．答案：D2．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是__________________．解析：曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＝0，即ρ＝2cosθ＋4sinθ.答案：ρ＝2cosθ＋4sinθ3．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求x－y的取值范围；(3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax.解：(1)因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，所以x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)因为x－y＝t－＝－t－1，又－1＜t＜1.所以－＜－t＜，所以－＜－t－1＜－，即x－y的取值范围是.(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的普通方程为4x－3y＋3＝0，d＝＝|sin(θ－φ)|，tanφ＝，所以dmax＝1.3
