课时分层作业(十八)函数的奇偶性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f＝x的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数[答案]C2．已知f是奇函数，且当x>0时，f＝x－1，则当x<0时，f等于()A．x＋1B．x－1C．－x－1D．－x＋1[答案]A3．设偶函数f在(0，＋∞)上为减函数，且f＝0，则不等式>0的解集为()A．(－2，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)B[>0⇔或.又f＝f＝0，f在(0，＋∞)上为减函数，故x∈(0，2)∪(－∞，－2).]4.已知f＝ax2＋bx是定义在区间上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－B．C．D．－B[依题意b＝0，且2a＝－，∴b＝0，且a＝，∴a＋b＝.]5．已知y＝f是偶函数，则函数y＝f的图象的对称轴是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝D．x＝－B[y＝f的图象是由y＝f的图象向左平移一个单位得到的，而y＝f的图象的对称轴为x＝0，故选B.]二、填空题6．已知函数y＝f为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f＝0的所有实根之和是________．0[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.]7．已知函数f为奇函数，f＝f＋1，则f等于________．[令x＝－1，得f＝f＋1＝－f＋1，∴f＝.令x＝1，得f＝f＋1＝＋1＝.]8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝______．－1[因为y＝f(x)＋x2为奇函数，所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，所以f(－x)＝－f(x)－2x2，g(1)＝f(1)＋2＝3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2＝－f(1)＝－1.]三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)y＝＋；(2)f＝[解](1)∵函数的定义域为，不关于原点对称，∴该函数不具有奇偶性．(2)f的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x).故该函数为奇函数．10．已知函数f(x)定义在R上，对任意x，y∈R，有f(y＋x)＋f(y－x)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：y＝f(x)是偶函数．[解](1)令x＝y＝0，得2f(0)＝2f2(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)令y＝0，得f(x)＋f(－x)＝2f(x)f(0)，由(1)知，f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是偶函数．11．定义在R上的函数f满足：对于任意α，β∈R，总有f－＝2010，则下列说法正确的是()A．f－1是奇函数B．f＋1是奇函数C．f－2010是奇函数D．f＋2010是奇函数D[依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2010；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2010，f(－x)＋2010＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2010]，因此函数f＋2010是奇函数，选D.]12．已知y＝f是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f；②y＝f；③y＝xf；④y＝f＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④D[由奇函数的定义验证可知②④正确．]13．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数A[f的定义域为R，对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，∴f为奇函数．又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，∴f不是偶函数．]14．已知函数f＝为奇函数，则a＋b＝_____．0[由函数f(x)为奇函数，得f＋f＝0，又f＝0，f＝a＋b，所以a＋b＝0.]15．函数f的定义域是D＝，若对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f，试判断f的奇偶性并证明你的结论．[解]f是偶函数，证明如下：令x1＝x2＝1，得f＝f＋f，∴f＝0.令x1＝x2＝－1，得f＝f＋f，∴f＝0.令x1＝－1，x2＝x，得f＝f＋f，∴f＝f.所以，f是偶函数．
