(四)函数的值域与最值（一）知识归纳1．函数，其中集合A是函数的定义域。与的值对应的y的值称函数值，函数值的集合称函数的值域.2．最大值定义：设函数的定义域为,如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最大值。你能说出最小值定义吗？3．一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。且值域为。4.请你说出常见函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正、余弦函数、正、余切函数的值域。（二）学习要点求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面给出常见方法。1.分析观察法有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。2.反函数法、分离常数法对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数（仅求的表达式）的定义域从而得到原函数的值域。3.换元法（1）代数换元对形如的函数常设来求值域；（2）三角换元法对形如的函数常用“三角换元”，如令来求值域。注意:(1)新元的取值范围，(2)三角换元法中，角的取值范围要尽量小。4.配方法二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。5.判别式法对形如的函数常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。注意：①定义域为R，②要对方程的二次项系数进行讨论。6.利用函数的有界性对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。7.基本不等式法对形如（或可转化为），可利用求得最值。注意“一正、二定、三等”8．利用函数单调性求值域对形如（或可转化为），考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，可求得值域。9．数形结合法若函数的解析式的几何意义比较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法。10．导数法（三）例题讲评例1．求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）例2．已知，求的最值。例3．求下列函数的值域（1）（2）（3）例4.如何求函数的最值？呢？例5．求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）（四）练习题一、选择题题号12345678910111213答案1.已知函数=，则［（）］的值是A.9B.C.-9D.-2.若集合,，则等于A．{0}B．C．SD．T3.下列函数中值域是（0，+∞）的函数是A.B.C.D.4.定义在R上的函数的值域为［，b］,则的值域为A.［,b］B.［+1,b+1］C.［－1,b－1］D.无法确定5.函数y=的定义域是(-，1)[2,5]，则其值域是A.(-,0)[,2]B.(-,2)C.(-,)[2,+]D.(0,+)6.函数的值域为R，则实数k的取值范围是A．B．或C．D．或7.已知、b的等差中项是的最小值是A．3B．4C．5D．68.已知,,则(=A．15B．1C．3D．309.设函数fxxx()()()1010，则()()()()ababfabab2的值为A.B.bC.、b中较小的数D.、b中较大的数10．函数的最小值为A．190B．171C．90D．45二、填空题：11.定义在R上的函数满足关系式:,则的值等于________12.设（>0）的值域为[-1，4]，则,b的值为_________13.函数的最大值是14.已知a,b为常数，若则三、解答题：16.求下列函数的值域（1）；（2）；（3）17．已知函数的值域为［1，3］，求实数b、c的值。18．设函数，（1）若定义域为[0，3]，求的值域；（2）若定义域为时，的值域为，求的值.（四）函数的值域与最值参考答案（三）例题讲评例1．例2．，最大值18；最小值例3．；；；例4．，当且仅当时取等号；即时，y的最小值是2。没有最大值。另外方法同上，即时，y的最大值是。没有最小值。说明：本题不能用判别式法。因为。若用判别式法得，当时，求得，不合。例5．；（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。）（四）练习题一、选择题题号12345678910答案BCBAABCACC7.提示：由，二、填空题11.7；12.=4,b=3；13.4；14.2。三、解答题15．[解析]先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.（1）函数的定义域为，令，即或，∴函数的值域为；（2）函数的定义域为.作换元，令，上为增函数，，∴函数的值域为；[解法二]令，∴原函数，...
