河北省清河县高三数学《27平面向量的数量积及应用举例》课时作业一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2010·重庆高考)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于()A．0B．2C．4D．8解析：|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2.答案：B2．(2010·湖南高考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠A＝|AB|·|AC|·＝|AC|2＝16.答案：D3．已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为()A.B.C.D.解析：由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝＝＝，所以α＝.答案：C4．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为()A．－2B．2C．－D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A5．设0≤θ<2π，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2的长度的最大值是()A.B.C．3D．2解析：P1P2＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，|P1P2|＝＝≤＝3.当且仅当θ＝π时取等号．答案：C6．(2011·岳阳市模拟)已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()A．30°B．－150°用心爱心专心1C．150°D．30°或150°解析：∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝，又a·b<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB在向量CD上的投影为__________解析：AB＝(2,2)，CD＝(－1,3)，设AB和CD的夹角为α，则向量AB在向量CD上的投影为|AB|cosα＝＝＝.答案：8．(2010·天津高考)如右图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝________.解析：∵AC＝AB＋BC＝AB＋BD＝AB＋(BA＋AD)＝(1－)AB＋AD.∴AC·AD＝[(1－)AB＋AD]·AD＝(1－)AB·AD＋AD2＝AD2＝.答案：9．(2010·浙江高考)已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．解析：如下图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°.AC＝1.设∠ACB＝φ，由正弦定理＝⇒|α|＝sinφ＝sinφ≤.∴|α|∈(0，]．答案：(0，]三、解答题(共55分)10．(15分)(2010·重庆一诊)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．解：(1)∵向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，∴AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，由三点共线知3(1－m)＝2－m，解得m＝.(2)由题设知BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m)，∵∠ABC为锐角，∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，解得m>－.又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°，用心爱心专心2故m∈(－，)∪(，＋∞)．11．(20分)设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)解：由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则(－)·cosα＋·sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.——探究提升——12．(20分)(2011·江西六校联考)已知△ABC的周长为6，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列．(1)求角B及边b的最大值；(2)设△ABC的面积为S，求S＋的最大值．解：(1)∵a＋b＋c＝6，b2＝ac，∴cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号，故角B有最大值.又b＝≤＝，当且仅当a＝c时取等号，从而b≤2，即b有最大值2.(2)∵S＝acsinB＝b2sinB，∴由(1)知，当B＝，b＝2时，S有最大值.∵BA·BC＝accosB＝＝＝＝－(b＋3)2＋27.∴＝≤，当且仅当b＝2时取等号．∴S＋的最大值为＋.用心爱心专心3
