一类最值不等式问题的求解通法罗增儒有一类最值不等式问题，可以一般地表示为：求证有的地方也将其表示为双重最值的形式：这类问题求解思路灵活，文[1]给出的多种解法主要涉及分类讨论和反设归谬，本文要提供的是一种直接求解的思路，只用到设元、消元运算，且具有明显的可操作性。1方法的示例例1试证对任意的，有。（参见文[1]）分析若将求证式左边用字母x来表示，则问题便转化为对比条件与结论的差异知（差异分析法），应消去a,b，得出关于x的不等式。怎样消去a,b成为问题的关键，此处用加减消元法，其加减运算中的系数可用待定系数法来确定，由绝对值的定义，有①引进待定系数，考虑。为使其消去a,b，令方程组有无穷解，我们取一个，。可把①变为相加。得。由这个分析过程我们还看到，，因为方程组有解a=0，。即a=0，b=时，。思路打通之后，求解过程的书写可以简化。证明设，有，②用心爱心专心122号编辑1，③。④②＋③＋2×④，得，得。即。其中③式的运算背景是。总结由上面的分析和求解过程，可以得出这类问题的可操作步骤，分三步说明如下。第1步，设，得不等式组第2步，消去a,b，得出关于x的不等式。第3步，解不等式得。其中第2步是关键，可以根据的结构而采用加减消元法，代入消元法，乘除消元法，不等式放缩消元法等。例2已知锐角△ABC的三个内角满足A>B>C。用α表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者。则α的最大值是__________。分析这个问题可以改写为求首先，由α为最小者有①引进待定系数，考虑。为了能用到A＋B＋C=180°，从而消去A，B，C，可设，得取，从而。由①有②相加又当①中各式取等号时，有，得A=75°，B=60°，C=45°时，α可取到最大值15°。解由已知条件有又当③式取等号时，有90°－A=A－B=B－C=15°，得A=75°，B=60°，C=45°时，α可取到最大值15°。故填15°。用心爱心专心122号编辑2说明此解法中的③式正是②式的简写，又由题目中已给出。，所以第1步中的设元也就省略了。2方法的应用例3设，且，求。解设，则。当时，可解得，故得。例4若，求（1），（2）。解（1）设，有，①，②（把①，②代入），③有。当①，②，③取等号时，可得且x取到最大值，故有。说明此题若对①、②、③用不等式处理，由，只能得出，得不出。若改为，也得出正确结论，但比上述代入消元使用的知识多了，运用的技巧复杂了，这再次表明本文提供的方法，程序性与通用性都较好。（2）同理可得，，时，有。参考文献［1］席华昌。一个最大数命题的多种证法［J］。中学数学杂志（高中），2005，3。［2］罗增儒。一道极值赛题的推广［J］。中等数学，2005，12。用心爱心专心122号编辑3
