课时分层作业(十七)平面向量基本定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2C[只有C选项不一定共线．]2.如图所示，向量a－b＝()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2C[a－b＝AB＝e1－3e2.]3．已知e1，e2不共线，a＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是()A．λ1＝1B．λ1＝2C．λ1＝3D．λ1＝4B[b＝4e1＋2e2＝2(2e1＋e2)，因为a与b共线，所以λ1＝2.]4.如图所示，▱ABCD中，E是BC的中点，若AB＝a，AD＝b，则DE＝()A．a－bB．a＋bC．a＋bD．a－bD[因为E是BC的中点，所以CE＝CB＝－AD＝－b，所以DE＝DC＋CE＝a－b.]5．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于()A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD.a＋bD[ P1P＝λPP2，∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)，∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，∴OP＝OP1＋OP2＝a＋b.]二、填空题6．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.②③[由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．]7．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________.3a－2b[设c＝λa＋μb，于是－e1＋8e2＝λ(e1＋2e2)＋μ(2e1－e2)，整理得－e1＋8e2＝(λ＋2μ)e1＋(2λ－μ)e2，因为e1，e2是平面内所有向量的一组基底，所以解得λ＝3，μ＝－2，所以c＝3a－2b.]8．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．∪[当a∥b时，设a＝mb，则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，即e1＋2e2＝mλe1＋me2，所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.又a与b是一组基底，所以a与b不共线，所以λ≠.]三、解答题9.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB＝a，AC＝b，用a、b表示AD、AE、AF.[解]AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b；AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b；AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b.10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)已知c＝3e1＋4e2，以a，b为基底，表示向量c；(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解](1)设c＝λa＋μb，则3e1＋4e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，所以解得所以c＝a＋2b.(2)4e1－3e2＝λa＋μb＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，所以解得λ＝3，μ＝1.[等级过关练]1．设O，A，B，M为平面上四点，OM＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，B，M四点共线A[因为OM＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)，所以OM－OB＝λ(OA－OB)，所以BM＝λBA，故点M在线段AB上．]2．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直A[如图． AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BC＋CE＝BC＋CA，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，∴AD＋BE＋CF＝＋＋＝BC＋CB＝－BC.]3.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.[设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，AF＝a＋b，又 AC＝a＋b，∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.]4．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA＋OB＋2OC＝0，则△AOC的面积为________．1[如图，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD＝OA＋...
