小题分层练(九)压轴小题巧解练(1)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有()A．1对B．2对C．3对D．4对B[作出f(x)＝的图象如图所示，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x＜0)和y＝－x2－4x(x＜0)的图象的交点个数．由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”．]2．已知函数f(x)＝2x－(x＜0)与g(x)＝log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A．(－∞，－)B．(－∞，)C．(－∞，2)D.B[由f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝2－x－(x＞0)，令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x＞0)，则方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，作出y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象，如图所示，当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，若a＞0，若两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log2a＜，解得0＜a＜，综上可知，实数a的取值范围是(－∞，)，故选B.]3．(2018·济南二模)设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a＞1)，则x1＋4x2的取值范围是()A．[4，＋∞)B．(4，＋∞)C．[5，＋∞)D．(5，＋∞)D[f(x)＝x－a－x的零点x1是方程x＝a－x，即＝ax的解，g(x)＝xlogax－1的零点x2是方程xlogax－1＝0，即＝logax的解，即x1，x2是y＝ax与y＝logax与y＝交点A，B的横坐标，可得0＜x1＜1，x2＞1， y＝ax的图象与y＝logax关于y＝x对称，y＝的图象也关于y＝x对称，∴A，B关于y＝x对称，设A，B，∴A关于y＝x对称点A′与B重合，＝x2⇒x2x1＝1，x1＋4x2＝x1＋x2＋3x2＞2＋3x2＞2＋3＝5，∴x1＋4x2的取值范围是(5，＋∞)，故选D.]4．(2018·马鞍山二模)已知函数f(x)在R上满足f(x)＋f(－x)＝x2，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞x.若f(1＋a)－f(1－a)≥2a，则实数a的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]A[由题意可设g(x)＝f(x)－x2， x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞x，∴g′(x)＝f′(x)－x＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 f(x)＋f(－x)＝x2，∴g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－x2＝x2－x2＝0，∴g(x)为奇函数，又f(0)＝0，∴g(x)＝0，∴g(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，又 f(1＋a)－f(1－a)≥2a，∴g(1＋a)－g(1－a)≥0，即g(1＋a)≥g(1－a)，∴1＋a≥1－a，即a≥0，故选A.]5．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.B.C．－D．－C[ 函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，∴方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，∴方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，∴Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.]6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则|AB|＝()A.B．2C．3D．4D[很明显直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x＋1)，与抛物线联立可得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则：xQ＝＝－1，yQ＝k(xQ＋1)＝，即Q，而F(1,0)，利用两点之间距离公式可得：|FQ|＝＝2，整理化简可得：＝0，∴＝2.利用根与系数的关系有：x1＋x2＝＝6，x1x2＝1，则|x1－x2|＝＝，＝，由弦长公式可得：|AB|＝×|x1－x2|＝4.]7．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足①f(x)＞0；②f(x)＜f′(x)＜3f(x)(其中f′(x)是f(x)的导函数，e是自然对数的底数)，则的取值范围为()A.B.C.D.A[构造函数g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝＞0，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，所以g(1)＜g(2)，即＜，则＜e－；令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝＜0,函数h(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，所以h(1)＞h(2)，即＞，则＞.综上，＜＜e－，故答案为A.]8．(2018·黄山二模)已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2,P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大...
