二次根式a2的化简(1)教学目标1.运用从特殊到一般的归纳方法,使学生理解并初步掌握二次根式的性质a2=|a|=a(a≥0),-a(a<0).2.能利用上述性质化简被开方数是单项式或简单分式的二次根式.教学重点和难点重点:理解并掌握二次根式的性质a2=|a|=a(a≥0),-a(a<0).难点:理解式子a2=|a|中的a可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.教学过程设计一、导入新课我们知道,式子a(a≥0)表示非负数a的算术平方根.问;式子a2的意义是什么?被开方数中的a表示的是什么数?答:式子a2表示非负数a2的算术平方根,即a2≥0,且a2≥0,从而a可以取任意实数.二、新课计算下列各题,并回答以下问题:(1)22;(2)42;(3)122;(4)(-5)2;(5)(-34)2;(6)(-0.3)2;(7)(-710)2;(8)02.;1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数?2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系?3.用字母a表示被开方数的幂的底数,将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论.答:(1)22=2;(2)42=4;(3)122=12;(4)(-5)2=5;(5)(-34)2=34;(6)(-0.3)2=0.3;(7)(-710)2=710;(8)02=0.1.(1),(2),(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数;(4),(5),(6),(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数;(8)题被开方数的幂的底数是0.2.(1),(2),(3),(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等;(4),(5),(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数.3.用字母a表示(1),(2),(3)(8)各题中被开方数的幂的底数,有a2=a(a≥0)用字母a表示(4),(5),(6),(+7)各题中被开方数的幂的底数,有a2=-a(a<0).一个非负数的平方的算术平方根,等于这个非负数本身;一个负数的平方的算术平方根,等于这个非负数的相反数.问:请把上述讨论结论,用一个式子表示.(注意表示条件和结论)答:a2=a(a≥0)-a=(a<0)0.请同学回忆实数的绝对值的代数意义,它和上述二次根式的性质有什么联系?答:a2=|a|(a≥0)-a=(a<0)0.填空:1.当a时,a2=-a;2当a>0时,a2a=当a<0时,a2a=;3若a>0=1-a,则a=;4.当a<0时,a2a2=.答:1.当a<0时,a2=|a|=-a;2.当a>0时,a2a=|a|a=aa=1,当a<0时,a2a=|a|a=-aa=-1;3.若(a-1)=1-a,则a≤1;4.当a<0时,a(2a)2=a|2a|=a-2a=-12.例1化简16x2(x>0).分析:可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简.解16x2=16·x2=4|x|因为x>0,所以|x|=x,所以16x2=4|x|=4x.指出:在化简和运算过程中,把x2先写成|x|,再根据已知条件中x的取值范围,确定其结果.例2化简32a2(a<0).分析:根据二次根式的性质,当a<0时,a2=|a|=-a.解32a2=32·a2=42|a|=-42a.例3化简:(1)a2b(a<0);(2)a28b3(a≤0).分析:根据二次根式的性质,当a<0时,a2=|a|=-a.解(1)a2b=a2·b=|a|b=-ab.(2)a28b3=a28b3=|a|2b2b=|a|2b4b2=-a2b4b2.注意:(1)题中的被开方数a2b≥0,因为a2≥0,所以b≥0.(2)题中的被开方数a28b3≥0,因为a2≥0,所以b>0.这里b的取值范围,在已知条件中没有直接给出,但可以由已知条件分析而得出.例4化简(22-3)2+|1-2|.分析:根据二次根式的性质,有(22-3)2=|22-3|.所以要比较22与3及1与2的大小以确定22-3及1-2的符号,然后再进行化简.解因为2≈1.42,22≈2.82<3,所以22-3<0,1-2<0.所以(22-3)2+|1-2|=|22-3|+|1-2|=-(22-3)-(1-22)=-22+3-1+2=2-2.三、课堂练习1.求下列各式的值:(1)(-0.1)2;(2)(3-2)2;2.化简:(1).(3-π)2;(2)4a4;(3)16ab2(b<0);(4)y4x2(x<0=3.化简:(1)(5-9)2;(2)(3.5-2)2;(3)(10–1–10-2)2;(4)(3-10)2-|2-10|;(5)(3-5)2+|1-3|;(6)b1b2(b<0).答案:1.(1)0.1;(2)2-3.2.(1)π-3;(2)2a2;(3)-43b;(4)-y2x.3.(1)4;(2)1.5;(3)0.09;(4)-1;(5)4;(6)-1.四、小结1.二次根式a2的意义是a2≥0,所以a2≥0,因此a2=|a|,其中a可以取任意实数.2.化简形如a2的二次根式,首先可把a2写成|a|的形式,再根据已知条件中字母a的取值范围,确定其结果.3.在化简中,注意运用题设中的隐含条件,如二次根式a2b有意义的条件是被开方数a2b≥0,这是隐含条件.五、作业(1)-(5×6)2;(2)(23-4)2;(3)a6(a<0);(4)9a2(a<0);(5)16a4;(6)4a29b2(b<0,a>0);(7)36y4125x6(x<0).2.化简:(1)(5-22)2-|22-3|;(2)2a-a2+3|a|(a<0);(3)-|a|-2b2(a<0,b<0).答案:1.(1)-30;(2)4-23;(3)-a3;(4)-3a;(5)4a2;(6)-2a3b;(7)-65y225x3.2.(1)2;(2)0;(3)a+2b.