《函数模型及其应用》学习指导利用数学知识解决实际问题,是学习数学的一个重要目的,将实际问题转化为数学问题的过程就是数学建模,其中建立函数模型是常见的数学应用题型。应用函数模型解题,通常先根据给出的条件,用待定系数法确定相关的常数,即确定模型函数,再用此模型解题,掌握函数应用题需注意以下几个方面。一、函数应用题的基本思路解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上,把实际问题抽象转化为数学问题,然后再用相应的数学知识去解决,基本程序如下:(1)阅读理解,认真审题:在阅读题意的基础上,分析出已知什么,求什么,确定自变量与函数值的意义,尝试问题的函数化。(2)引进数学符号,建立数学模型:根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化。(3)合理求解数学问题。(4)将数学问题的解代入实际问题进行核查,舍去不合题意的解,并作答。二、常用函数模型例析常用几类函数模型有一元一次、二次函数模型,分段函数模型,指数、对数函数模型以及幂函数模型和反比例函数模型等。(1)一次函数及分段函数模型:例1、铁路运输托运行李,从甲地到乙地,规定每张客票托运费计算方法为:行李质量不超过50kg,按0.25元/kg计算;超过50kg而不超过100kg时,其超过部分按0.35元/kg计算,超过100kg时,其超过部分按0.45元/kg计算。(1)计算出托运费用。(2)若行李质量为56kg,托运费用为多少?分析:此题为分段函数,分段函数是一个函数,而不是几个函数,求分段函数的函数值时,应先确定自变量在定义域中的范围,然后按相应的对应法则求值。解析:(1)设行李质量为xkg,托运费用为y元,则①若050xkg,则0.25yx;②若50kg100kg,则300.45100yx。所以,由①②③可知0.2505012.5500.35,500,x<10。210100108100101043600<10yxxxxx当4x时,y取得最大值,此时销售单价为14元,最大利润为360元。点评::利润问题是常见函数应用问题,通常要认清利润与价格以及销售量相互之间的制约关系,通过构造二次函数模型,利用二次函数求最值的方法解决相关的最值问题。借助二次函数模型求最值,是应用问题中的重要方法。(3)指数、对数、幂函数模型例3、某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3件。为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系。模拟函数可以选择二次函数或xyabc(其中a、b、c为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,试问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由。分析:比较两个模拟函数的优劣,就是比较月份与产量的关系反映得更准确,先根据前三个月份的数据用待定系数法求得解析式,在验证第四个月,比较误差即可。解析:设两个函数210ypxqxrp,2xyabc...