高中数学高考专题复习：多参数问题的解法VIP免费

多参数问题的解法常用方法有：一、分离变量法。若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1．已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即>a+2上式等价于或，解得a<8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解（先确定主元）：a+cos2x<54sinx+即a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t[1,1],整理得2t24t+4a+>0,(t[1,1])恒成立。设f(t)=2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[1，1]内单调递减。只需f(1)>0,即>a2.(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于对于任意x∈R恒成立。不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3)不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[(sinx)2]max=,即k≤1或k≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。二、选择恰当的参数作为主元（其余视为常量）例3、已知f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,且f(1)=1，若a,b∈［-1,1］,a+b≠0有＞0.（1）判断函数f(x)在［-1,1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式f(x+)＜f(（3）若f(x)≤m-2am+1，对所有x∈［-1,1］,a∈［-1,1］恒成立，求实数m的取值范围.解答：（1）任取x∈［-1,1］,且x＜x，则-x∈［-1,1］,又f(x)是奇函数，于是有：f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)=·(x-x),由已知＞0,x-x＜0,所以f(x)-f(x)＜0，即f(x)＜f(x).所以函数f(x)在［-1,1］上是增函数.(2)因为函数f(x)在［-1,1］上是增函数，所以不等式f(x+＜f(等价于不等式组：1由①得-由②得x0，或x≥2;由③得x＜-1,或1＜x＜所以原不等式的解集为{x|-＜-1}.(3)因为函数f(x)在［-1,1］上都是增函数，且f(1)＝1,故对所有的x∈［-1,1］,有f(x)≤1.由已知，对所有的x∈［-1,1］，a∈［-1,1］,f(x)≤m，有m≥1成立，即m≥0.记g(a)=-2am+m∈［-1,1］，g(a)≥0成立，只需g(a)在［-1,1］上的最小值大于等于0.即解得：m≤-2,或m=0，或m≥2.故m的取值范围为m≤-2,或m=0，或m≥2.注：第（1）中的a,b可分别视为，第（3）涉及到3个变量x,m,a，对于右边的两个参数m,a要善于选择恰当的参数作为主元，运用一次函数的单调性。例4、分析：2、分析：选择A。2三、根据函数的单调性、值域特征或不等式的解集特征对多参数分步讨论例5、已知函数fxaxx()()10，（1）若fxx()2在［1，）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数yfx()在［m，n］上的值域是[]()mnmn，，求实数a的取值范围。解答：（1）在（1，）上恒成立，即恒成立，设则ahx()在（1，）上恒成立hxx'()2102hx()在［1，）上单调递增hxhmin()()1故ah()1即a3a的取值范围为（，3），（2）由题意知nm0时，由（1）知fx()在（0，）上单调递增mfmnfn()()，，fxx()有两个不相等的正根即xax210有两个不相等的正根m，na00a2例6、已知不等式x2–3x+t<0的解集为{x|1