高考大题专项练3高考中的数列高考大题专项练第6页1.(2015大连一模)等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为,满足S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解:(1)设{an}的公差为d,所以解得a1=2,d=3,b1=,所以an=3n-1,bn=.(2)由(1)知Tn=2×+5×+8×+…+(3n-4)·+(3n-1),①①×Tn=2×+5×+…+(3n-4)×+(3n-1),②①-②得Tn=2×+3×-(3n-1)·=1+3×-(3n-1)·,整理得Tn=-(3n+5)+5.导学号〚32470870〛2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1;数列{bn}满足bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+),b1=1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2an-1,得S1=a1=2a1-1,故a1=1.又Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2),两式相减,得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1.故an=2an-1,n≥2.所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.故an=1·2n-1=2n-1.由bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+),得=1.又b1=1,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.∴=1+(n-1)·1=n.∴bn=.(2)由(1)得=n·2n-1.∴Tn=1·20+2·21+…+n·2n-1,∴2Tn=1·21+2·22+…+n·2n.两式相减,得-Tn=1+21+…+2n-1-n·2n=-n·2n=-1+2n-n·2n.∴Tn=(n-1)·2n+1.导学号〚32470871〛3.(2015山东滨州一模)已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+an=1(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=lo(1-Sn+1)(n∈N+),令Tn=+…+,求Tn.解:(1)当n=1时,a1=S1,由S1+a1=1,得a1=.当n≥2时,Sn=1-an,Sn-1=1-an-1,则Sn-Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an),所以an=an-1(n≥2).故数列{an}是以为首项,为公比的等比数列.故an==2·.(2)因为1-Sn=an=,所以bn=lo(1-Sn+1)=lo=n+1,因为,所以Tn=+…+=+…+=.导学号〚32470872〛4.(2015江西上饶一模)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-3·2n+4(n∈N+).(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.(1)证明:∵Sn=2an-3·2n+4(n∈N+),∴n=1时,a1=S1=2a1-6+4,解得a1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-3×2n+4-(2an-1-3×2n-1+4),化为an=2an-1+3×2n-1,变形为,∴数列是等差数列,首项为=1,公差为.(2)解:由(1)可得=1+(n-1)=,∴bn==,∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+.导学号〚32470873〛5.(2015长沙二模改编)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且a3,a4,a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),由已知得即解得∴an=2n-5.(2)证明:∵bn=,n∈N+,∴Tn=+…+,①Tn=+…+,②①-②,得Tn=+2+…+=-,∴Tn=-1-(n∈N+).导学号〚32470874〛6.已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=(n∈N+).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn=anbn,求证:cn+1≤cn;(3)求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)因为a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{an}的公差d>0,所以a3=5,a5=9,公差d==2.所以an=a5+(n-5)d=2n-1.当n=1时,b1=S1=,解得b1=.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn),所以(n≥2).所以数列{bn}是首项b1=,公比q=的等比数列,所以bn=b1qn-1=.(2)由(1),知cn=anbn=,cn+1=,所以cn+1-cn=≤0.所以cn+1≤cn.(3)由(2),知cn=anbn=,则Tn=+…+,①Tn=+…+,②①-②,得Tn=+…++2,化简得Tn=1-.故数列{cn}的前n项和Tn=1-.导学号〚32470875〛
