压轴大题拉分练(05)(满分：24分时间：30分钟)1．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点M，N．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M作x轴的垂线，交椭圆C于G，求证：存在实数λ，使得GF2＝λF2N．(1)解：依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，故a＝2．将代入椭圆＋＝1中，解得b2＝3，故椭圆C的方程为：＋＝1．(2)证明：由题知直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝k(x－4)．设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则G(x1，－y1)，联立得3x2＋4k2(x－4)2＝12．即(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，则Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，由题可得直线NG方程为y＋y1＝(x－x1)，又∵y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，∴直线NG方程为y＋k(x1－4)＝(x－x1)，令y＝0，整理得x＝＋x1＝＝＝＝1，即直线NG过点(1,0)．又∵椭圆C的右焦点坐标为F2(1,0)，∴三点G，F2，N在同一直线上．∴存在实数λ，使得GF2＝λF2N．2．(12分)已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－n(x2－1)(m，n∈R)．(1)若函数f(x)，g(x)在区间(0,1)上均单调且单调性相反，求实数n的取值范围；(2)若0＜a＜b，证明：＜＜．(1)解：f′(x)＝－＝＞0，所以f(x)在(0,1)上单调递增．由已知f(x)，g(x)在(0,1)上均单调且单调性相反，得g(x)在(0,1)上单调递减．所以g′(x)＝lnx＋1－2nx≤0在(0,1)上恒成立，即2n≥，令φ(x)＝(x∈(0,1))，φ′(x)＝＞0，所以φ(x)在(0,1)上单调递增，φ(x)＜φ(1)＝1，所以2n≥1，即n≥．(2)证明：由(1)f(x)＝lnx－在(0,1)上单调递增，f(x)＝lnx－＜f(1)＝0，即lnx＜，令x＝∈(0,1)得ln＜＝，∵ln＜0，∴＜．在(1)中，令n＝，由g(x)在(0,1)上均单调递减得g(x)＞g(1)＝0，所以xlnx－(x2－1)＞0，即lnx＞，取x＝∈(0,1)得ln＞，即lna－lnb＞，由lna－lnb＜0得：＜，综上：＜＜．
