中档大题分类练(二)数列(建议用时：60分钟)1．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝4，an＝2n＋1(n≥2)．(1)证明：当n≥2时，Sn＝an＋n2；(2)若等比数列{bn}的前两项分别为S2，S5，求{bn}的前n项和Tn.[解](1)证明：当n≥2时，∵Sn＝4＋(5＋7＋…＋2n＋1)＝4＋＝n2＋2n＋1，∴Sn＝(2n＋1)＋n2＝an＋n2.(2)由(1)知，S2＝9，S5＝36，∴等比数列{bn}的公比q＝＝4，又b1＝S2＝9，∴Tn＝＝3(4n－1)．2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：由已知有a1＋a2＝4a1＋2.解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是－＝，因此数列是首项为、公差为的等差数列．＝＋(n－1)＝n－.所以an＝(3n－1)·2n－2.3．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)证明：{an＋1}为等比数列；(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列．[解](1)证明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3，∴an＝2an－1＋1，∴a1＝1，＝＝2(n≥2)，∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，an＋1＝2n，∴an＝2n－1.∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，∴n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0∴n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．4．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝2－2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)nlogan，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)∵Sn＝2－2an＋1，a1＝1，∴当n＝1时，S1＝2－2a2，得a2＝1－＝1－＝；当n≥2时，Sn－1＝2－2an，∴当n≥2时，an＝2an－2an＋1，即an＋1＝an,又a2＝a1，∴{an}是以a1＝1为首项，为公比的等比数列．∴数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝(－1)n(n－1)，Tn＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n(n－1),当n为偶数时，Tn＝；当n为奇数时，Tn＝－(n－1)＝，∴Tn＝（教师备选）1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋pn，且a2，a5，a10成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝1＋，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋p，当n＝1时，a1＝S1＝1＋p，也满足an＝2n－1＋p，故an＝2n－1＋p，∵a2，a5，a10成等比数列，∴(3＋p)(19＋p)＝(9＋p)2，∴p＝6.∴an＝2n＋5.(2)由(1)可得bn＝1＋＝1＋＝1＋，∴Tn＝n＋－＋－＋…＋－＝n＋＝.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝log2an，记数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜.[解](1)当n＝1时，有a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝4.当n≥2时，有Sn－1＝(an－1－1)，则an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理得：＝4，∴数列{an}是以q＝4为公比，以a1＝4为首项的等比数列.∴an＝4×4n－1＝4n(n∈N*)，即数列{an}的通项公式为：an＝4n(n∈N*)．(2)由(1)有bn＝log2an＝log24n＝2n，则，＝＝，∴Tn＝＋＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋－＝＜，故得证．
