高中数学三角问题的非三角化解题策略学法指导VIP免费

高中数学三角问题的非三角化解题策略对待三角问题，常规思路是运用三角知识及公式顺水推舟式的解析，自然而合理。其实，三角问题与相关知识的联系是十分密切的，在解题时，若能激活联想，发散思维，不少三角问题的解决途径是比较新奇和有趣的，正所谓三角问题的非三角化解题策略。这里剖析数例，以作欣赏。一.平几化策略发挥平面图形的功能，以平面图形为载体，挖掘三角背景下的问题实质，使三角问题在平面图形的直观导引下得到解决。例1.已知△ABC的三个内角适合sin2A=sinB(sinB+sinC)，求证：∠A=2∠B。证明：如图1，联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D，使AD=AB=c，则CD=b+c。由于sin2A=sinB(sinB+sinC)，所以a2=b(b+c)，即BC2=AC·CD，所以BC切过A、B、D的圆于点B，所以∠ABC=∠ADB。因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB，所以∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠ABC，得证。二.对称化策略利用互余三角函数间的特殊关系，以问题结构特征为出发点，通过构造“相似”结构式子，建立对称关系，开避解题坦途。例2求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。解：设x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°，y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°，则x+y=2-cos40°；xycoscos20100121240cos。联立解得x34，即为所求结果。三.线圆化策略直线与圆是数学中的平常而重要的几何图形。从抽象的数学式子里提炼出线圆关系，使问用心爱心专心题及字母讨论在直观的几何显示下不解自知。例3设方程sin2x-sin2x=2cos2x+m有实数解，试求m的取值范围。解：原方程变形为：3cos2x-2sin2x+2m+1=0。观察知：点（cos2x，sin2x）在直线3x-2y+2m+1=0上，而点又在单位圆x2+y2=1上，所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解，就是直线与圆有交点，所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得：2132122m()≤。整理得m2+m-3≤0，解得11321132≤≤m。四.轨迹化策略一图值千言。依题意构点挖掘点的轨迹，发挥“区域”优势，使隐藏的“关节”得以显现，利用解析几何辅助问题获解。例4.设a、b＞0，且变量θ满足不等式组ababsincoscossin≥≥00，求sinθ的最大值。解设x=cosθ，y=sinθ，则不等式组等价于xybxayaxby22100，≥，≥。原不等式呈现出鲜明的几何意义：动点（x，y）的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标，即（sinθ）max=yM=aab22五.曲线化策略有些三角问题，抓住结构特征，依托曲线方程，巧妙地建构圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下简捷求解。例5若α、β为锐角，且cossinsincos42421，求证α+β=2。解：构造A（cos2α，sin2α），B（sin2β，cos2β）两点，则A、B两点均在椭圆xy22221sincos上。根据圆锥曲线的切线知识知，经过点B的切线方程为x+y=1。显然点A的坐标适合切线方程，所以点A也是切点，从而知A、B两点为同一点。即：cos2α=sin2β，sin2α=cos2β，所以cosα=sinβ=cos(2β)。由题设条件α、β为锐角，不难得α+β=2。用心爱心专心