高中数学三角问题的非三角化解题策略对待三角问题,常规思路是运用三角知识及公式顺水推舟式的解析,自然而合理。其实,三角问题与相关知识的联系是十分密切的,在解题时,若能激活联想,发散思维,不少三角问题的解决途径是比较新奇和有趣的,正所谓三角问题的非三角化解题策略。这里剖析数例,以作欣赏。一.平几化策略发挥平面图形的功能,以平面图形为载体,挖掘三角背景下的问题实质,使三角问题在平面图形的直观导引下得到解决。例1.已知△ABC的三个内角适合sin2A=sinB(sinB+sinC),求证:∠A=2∠B。证明:如图1,联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D,使AD=AB=c,则CD=b+c。由于sin2A=sinB(sinB+sinC),所以a2=b(b+c),即BC2=AC·CD,所以BC切过A、B、D的圆于点B,所以∠ABC=∠ADB。因为AB=AD,所以∠ABD=∠ADB,所以∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠ABC,得证。二.对称化策略利用互余三角函数间的特殊关系,以问题结构特征为出发点,通过构造“相似”结构式子,建立对称关系,开避解题坦途。例2求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。解:设x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°,y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°,则x+y=2-cos40°;xycoscos20100121240cos。联立解得x34,即为所求结果。三.线圆化策略直线与圆是数学中的平常而重要的几何图形。从抽象的数学式子里提炼出线圆关系,使问用心爱心专心题及字母讨论在直观的几何显示下不解自知。例3设方程sin2x-sin2x=2cos2x+m有实数解,试求m的取值范围。解:原方程变形为:3cos2x-2sin2x+2m+1=0。观察知:点(cos2x,sin2x)在直线3x-2y+2m+1=0上,而点又在单位圆x2+y2=1上,所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解,就是直线与圆有交点,所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得:2132122m()≤。整理得m2+m-3≤0,解得11321132≤≤m。四.轨迹化策略一图值千言。依题意构点挖掘点的轨迹,发挥“区域”优势,使隐藏的“关节”得以显现,利用解析几何辅助问题获解。例4.设a、b>0,且变量θ满足不等式组ababsincoscossin≥≥00,求sinθ的最大值。解设x=cosθ,y=sinθ,则不等式组等价于xybxayaxby22100,≥,≥。原不等式呈现出鲜明的几何意义:动点(x,y)的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标,即(sinθ)max=yM=aab22五.曲线化策略有些三角问题,抓住结构特征,依托曲线方程,巧妙地建构圆锥曲线模型,使问题在曲线性质的帮助下简捷求解。例5若α、β为锐角,且cossinsincos42421,求证α+β=2。解:构造A(cos2α,sin2α),B(sin2β,cos2β)两点,则A、B两点均在椭圆xy22221sincos上。根据圆锥曲线的切线知识知,经过点B的切线方程为x+y=1。显然点A的坐标适合切线方程,所以点A也是切点,从而知A、B两点为同一点。即:cos2α=sin2β,sin2α=cos2β,所以cosα=sinβ=cos(2β)。由题设条件α、β为锐角,不难得α+β=2。用心爱心专心