反证法——要点解密反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易发现入手点等，正所谓“正难则反”，这也是转化思想的体现。1．反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。注：这里所说的矛盾常常有以下四种情形：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与已知的定义、定理、公理矛盾；自相矛盾。2．反证法解决的常见题型：（1）否定性问题：（2）存在性问题；（3）唯一性问题：（4）分类性问题。例1若{正整数}，且。求证：或中至少有一个成立。分析：注意到“至少”字样，可考虑用反证法证明。证明：假设与同时成立，又，∴将以上两式相加得，这与已知条件矛盾，因此假设不成立。用心爱心专心故或中至少有一个成立。导评：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若则为真”，该证“若则为假”，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾。例2设二次函数中的、、均为整数，且、均为奇数，求证：方程无整数根。分析：若直接证明否定性命题比较困难，故运用反证法处理。证明：假设方程有一个整数根，则。①∵，均为奇数，∴必为偶数，当为偶数时，令，则必为偶数，与①式矛盾；当为奇数时，令，则为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与①式矛盾。综上可知方程无整数根。评注：解此题的关键是让不成立，即为偶数。例3求证：一元二次方程至多有两个不相等的实根。分析：所谓至多有两个，就是不可能有三个，要证“至多有两个不相等的实根”，只要证明它的反面“有三个不相等的根”不成立，即证明了原命题，可考虑用反证法。证明：假设方程有三个不相等的实根、、，则用心爱心专心由（1）（2）得，（4）由（1）（3）得，（5）由（4）（5）得。∵，∴，即则与假设相矛盾。故原方程至多只有两个不相等的实根。评注：通常反证法有一个共同的特点，对原命题的结论的否定事项只有一个，我们只要将这个反面驳倒，就能肯定原命题成立。如果原命题结论的否定事项不止一个时，就必须将结论的所有否定逐一驳倒，才能肯定原命题成立。用心爱心专心
