第2讲直接证明与间接证明基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的序号是________．①lg(1＋a2)>0；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋3ab>2b2；④<.解析在②中， a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案②2．已知m>1，a＝－，b＝－，则a，b的大小关系为________．解析 a＝－＝，b＝－＝.而＋>＋＞0(m＞1)，∴<，即a40，∴＋>2＋.答案＋>2＋4．“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”)．解析当a＝时，x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等号；反之，显然不成立．答案充分不必要5．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．解析要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．答案①③④6．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号)．答案①7．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.则①与②的假设中正确的是________(填序号)．解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对1于②，其假设正确．答案②8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是________(填“a－b＞0、a－c＞0、(a－b)(a－c)＞0、(a－b)(a－c)＜0”中的其中一个)．解析由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案(a－b)(a－c)＞0二、解答题9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明 a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴··＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg＞lgabc，∴lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)解当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．能力提升题组(建议用时：25分钟)1．设a，b，c均为正实数，则对三个数a＋，b＋，c＋，下列结论正确的序号是________．①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2.解析 a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.2答案④2．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为________．解析 ≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数，∴f≤f()≤f.答案A≤B≤C3．已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．解析 a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16(当且仅当a＝4，b＝12时等号成立)，∴a＋b的最小值为16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.答案(0,16]4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋...
