压轴大题拉分练(04)(满分：24分时间：30分钟)1．(12分)已知M是直线l：x＝－1上的动点，点F的坐标是(1,0)，过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N．(1)求点N的轨迹C的方程；(2)设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为(2,0)，直线AP与曲线C的另一个交点为B(B与A′不重合)，是否存在一个定点T，使得T，A′，B三点共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，|NM|＝|NF|，即曲线C为抛物线，其焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，所以曲线C的方程为y2＝4x．(2)设A，则A′，直线AP的斜率为kAP＝＝，直线AB的方程为y＝(x－2)．由方程组得ay2－(a2－8)y－8a＝0．设B(x0，y0)，则ay0＝－8，y0＝－，x0＝，所以B，又A′，所以A′B的方程为y＋a＝－．令y＝0，得x＝－2．即直线A′B与x轴交于定点T(－2,0)．因此存在定点T(－2,0)，使得T，A′，B三点共线．2．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax.(e≈2.71828…是自然对数的底数)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)在区间内无零点，求a的最大值．解：(1)∵f(x)＝ex－ax，∴f′(x)＝ex－a，当a≤0时，在f′(x)＞0上R恒成立，f(x)增区间为(－∞，＋∞)，无减区间；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝lna，f(x)的增区间为(lna，＋∞)，减区间为(－∞，lna)．(2)函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)＝ax－2lnx－a，x∈，∴F′(x)＝a－＝，①当a≤0时，F′(x)＜0在上恒成立，函数F(x)在区间上单调递减，则F(x)＞F＝－2ln－a＝ln4－＞0，∴a≤0时，函数F(x)在区间上无零点；②当a＞0时，令F′(x)＝0得，x＝，令F′(x)＞0，得x＞，令F′(x)＜0，得0＜x＜，因此，函数F(x)的单调递增区间是，单调递减区间是．(ⅰ)当≥，即0＜a≤4时，函数F(x)的单调递减区间是，∴F(x)＞F＝－2ln－a＝ln4－．要使函数F(x)在区间内无零点，则ln4－≥0，得a≤4ln2；(ⅱ)当＜，即a＞4时，函数F(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，∴F(x)min＝F＝2－2ln－a＝2－ln4＋2lna－a，设g(a)＝2－ln4＋2lna－a，∴g′(a)＝－1＝＜0，∴g(a)在(4，＋∞)上单调递减，∴g(a)＜g(4)＝2－ln4＋2ln4－4＝ln4－2＝2(ln2－lne)＜0，而当x→＋∞时，F(x)→＋∞，∴函数F(x)在区间内有零点，不合题意．综上，要使函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2lnx＋a)在区间内无零点，则a的最大值为4ln2．
