专题23解斜三角形本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2.边角互化的选取3.正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.高考模拟：一、单选题1．的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由面积公式和余弦定理进行计算可得。点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。2．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。3．在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4．已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由、倍角公式和正弦定理得，故，根据是锐角三角形可得，于是可得所求范围．详解： ，∴，由正弦定理得，∴，∴． 是锐角三角形，∴，解得，∴，∴．即的值范围是．点睛：三角形中的最值问题，一般利用正、余弦定理将变化为角，转化为三角函数的最值问题求解，解题过程中要注意角的取值范围，如在本题中要通过“锐角三角形”这一条件得到角A的取值范围．5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则角（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】分析：由正弦定理得，即，又由，得，所以或，分类讨论即可求解角的大小.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6．已知，为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据复数运算的平行四边形法则，画出平行四边形表示向量，利用正弦定理即可求出结果.详解：如图所示点睛：本题主要考查平面向量的运算法则及几何意义、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7．设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先求出点M，N的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率．详解：由题意得圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．设点M的坐标为，则点N的坐标为，由解得或，∴，．又，∴，在中，，由余弦定理得即，化简得，∴．故...
