例说“二分法”思想的应用董入兴“二分法”是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。利用“二分法”可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。一、利用“二分法”思想巧证不等式例1.已知三个正数a、b、c，满足，求证。解析：从所要证的目标的结构上看，可把、看作一元二次方程的两个根，同时构造一个区间。设利用“二分法”思想，要证目标，只需证a在区间内即可。如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证因所以a在区间内，即图1二、利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布例2.已知函数，，，求证：（1）且；（2）方程在（0，1）内有两个实根证明：（1）利用及，容易证明（略）。（2）一般地，要证方程在（0，1）内有两个实根，只需证明：①△②对称轴落在区间（0，1）内③区间（0，1）端点f(0)，f(1)的符号。而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明：①区间（0，1）两个端点f(0)，f(1)的符号都为正（题目已知条件已给定）②在区间（0，1）内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x轴有两个不同的交点（因a>0抛物线开口方向向上）。如图2所示，由①②可知方程在（0，1）内必有两个不同实根。用心爱心专心115号编辑1图2在区间（0，1）内选取二等分点，因所以结论得证。若不成立可看是否为负若还不成立，再看是否为负。总之，在区间（0，1）内存在一个分点，使对应函数值为负即可。例3.已知函数，，求证方程至少有一个根在（0，1内。证明：用“二分法”来证明。首先在区间（0，1）内寻找一个分点，使这个分点所对应的函数值小于0。在区间（0，1）内选二分点，其次证明区间（0，1）两个端点函数值，至少有一个为正因为所以中至少有一个为正，由函数的图象可知方程至少有一个根在（0，1）内。注意：证方程在区间（m，n）内有两个不同的解，只需证，的符号相同，以及在区间（m，n）找一个二分点t所对应函数值的符号（它与f(m)，f(n)的符号相反）。要证方程在区间（m，n）内至少有一个解，只需证f(m)，f(n)中至少有一个的符号与区间（m，n）内的一个二分点t所对应函数值f(t)的符号相反。三、利用“二分法”思想巧求最值例4.函数的最小值为（）A.190B.171C.90D.45用心爱心专心115号编辑2解析：因表示数轴上的动点x到点n之间的距离。当最小时，x为区间［1，19］内的任意一个分点；当最小时，x为区间［2，18］内的任意一个分点；当最小时，x为区间［3，17］内的任意一个分点。依次类推，当最小时，x为区间［9，11］内的任意一个分点；当最小时，利用“二分法”思想，当x是区间［1，19］，［2，18］，［3，17］，……，［9，11］共同二等分点，即x=10时，f(x)取得最小值，所以故选C。用心爱心专心115号编辑3
