正定（半正定）二次型的判定及其应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探讨了常见的正定二次型以及正定二次型的判定。重点讨论了正定二次型与行列式的联系，在函数最值问题中的应用。利用半正定二次型的性质，证明相关不等式，降低了证明的难度，简单易懂。关键字：二次型正定二次型半正定二次型相关应用目录引言.................................................................................................................................................................................................................................................1一、正定二次型.............................................................................................................................................................................................................................11．1定义...........................................................................................................................................................................................................................11.2.常见正定二次型...........................................................................................................................................................................................................1二、正定二次型的判定..................................................................................................................................................................................................................2三、正定二次型的应用..................................................................................................................................................................................................................43.1在函数极值问题中的应用...........................................................................................................................................................................................43.2正定二次型在线性最小二乘法问题中解中的应用....................................................................................................................................................63.3利用半正定二次型的性质证明不等式.......................................................................................................................................................................6参考文献：............................................................................................................................................................................................................8引言：设是一个数域,,个文字的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型,简称二次型.当为实数时,称为实二次型.当为复数时,称为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即称为标准型.一、正定二次型1．1定义：实二次型称为正定二次型，如果对于任意一组不全为零的实数，都有1.2.常见正定二次型-1-1.2.1二次型是正定的，因为只有在=0时，才为零。1.2.2实二次型是正定的，当且仅当1.2.3设实二次型(1)是正定的，经过非退化实线性替换变成二次型X=CY(2)．(3)我们指出，关于的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数，都有．证明：事实上，令，代入(2)的右端，就得到对应的一组值，设其为，则．因为C可逆，就有．所以当是一组不全为零的实数时，则也是一组不全为零的实数．显然．-2-二、正定二次型的判定定理6：n元实二次型是正定的充分且必要条件是它的正惯性指数等于n．证设二次型经过非退化实线性替换变成标准形．(4)上面的讨论表明，正定，当且仅当(4)...
