1椭圆的常见题型及其解法(一)椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。1.公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知11PFed，又，所以，而。2∴，。2.公式的应用例1椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，则12xx.解：在已知椭圆中，右准线方程为254x，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。 ，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。∴，即，。例2.12,FF是椭圆2214xy的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，则1020332,2.22PFxPFx212034.4PFPFxP在椭圆上，022x，12PFPF的最大值为4，最小值为1.变式练习1：.求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2.设Q是椭圆22221(0)xyabab上任意一点，求证：以2QF（或1QF）为3直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。证明：设，圆C的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故两圆相内切同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。3.椭圆焦半径公式的变式P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）||cosPEbac2；（2）||cosPFbac2。P是椭圆yaxbab222210()上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）||sinPEbac2；（4）||sinPFbac2。证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有||||||cosPEcxPEEQP由椭圆焦半径公式（1）得||PEaexP。消去xP后，化简即得（1）||cosPEbac2。而当大于90°时，在三角形PEQ中，有||||||)cos(PExcPEEQPcos||xcPEP，以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。44.变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例1.（2005年全国高考题）P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得||cosPFbacba2290°。再由题意得2222220222||||eaaccaccaabcPFEF＋210e。注意到0121ee解得。例2.P是椭圆xy22100641上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为43，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为，则：tancossin4317437，，。因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式（2）得||()PF81061772×所以三角形PEF的面积32473462721sin||||21××××EFPFS变式训练1.经过椭圆xaybab222210()的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若||||AFBF112，求椭圆的离心率。解：由题意及变式（2）得5bacba2260260180coscos()°×°°化简得2123223acaccaeca。变式训练2.设F是椭圆xy2221的上焦点，PFFQ与共线，MFFN与共线，且PFMF·＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而abc211，，，由题意及（3）式得||||||sinsin()sinPQPFFQ12121802222°同理得||cosMN2222。由题意知四边形PMQN面积SPQMN12||||4cos17322sin816cossin4816cossin24cos222sin222212222222··当cos41时，Smax321712；当cos41时，Smin()32171＝169。二椭圆的焦点弦设椭圆方程为22222221(0,)xyabcabab过椭圆右焦点且倾斜角为6()2的直线方程为sin()cosyxc，此直线交椭圆于,AB两点，求焦点弦AB的长.例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距21FF24，过椭圆的焦点1F作一直线交椭圆于P、Q两点，设XPF1)0(，当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且4a，22c...
