2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合0123,,,SAAAA，在S上定义运算“”为：ijkAAA，其中k为ij被4除的余数，,0,1,2,3.ij则满足关系20xxAA的xxS的个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：B．提示：因为20,xxAA，设kxxA，所以20,2,kAAak即2xxA，故1xA或3.xA答案：A．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）A．6B．3C．1D．23.设函数2cos,fxxxna是公差为8的等差数列，12fafaLnfa5,则2315faaa（）A．0B．116C．18D．21316答案：D．提示：因为na是公差为8的等差数列，且即1251252coscoscos5aaaaaaLL，所以即33102cos2cos1cos5.48aa记102cos2cos1cos548gxxx，则102cos2cos1sin048gxx，即gx在R为增函数，有唯一零点2x，所以3.2a所以2223151320.2242416faaa4.设,mn为非零实数，i为虚数单位，zC，则方程znizmin与方程znizmim在同一复平面内的图形（其中12,FF是焦点）是（）答案：B．提示：znizmin表示以120,,0,FnFm为焦点的椭圆且0.nznizmim表示以120,,0,FnFm为焦点的双曲线的一支．由nznizmimn，知0.m故双曲线znizmim的一支靠近点2F．5.给定平面向量1,1，那么，平面向量1313,22是将向量1,1经过变换得到的，答案是（）A．顺时针旋转60o所得B．顺时针旋转120o所得C．逆时针旋转60o所得D．逆时针旋转120o所得答案：C．提示：设两向量所成的角为，则1313,1,1221cos,222又0,180oo，所以60o．又13130,022，所以C正确．6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）A．0B．1C．2D．3答案：B．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r，共n名选手参赛，依题意有23650nCr，即3444.2nnr因为03r，所以分4种情况讨论：①当0r时，有3488nn，即27760nn，但它没有正整数解，故0r；②当1r时，有3490nn，解得13n，故1r符合题意；③当2r时，有3492nn，即27800,nn但它没有正整数解，故2r；④当3r时，有3494nn，即27820nn，但它没有正整数解，故3.r二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于xR，当且仅当*1nnnnN时，xn．则不等式2436450xx的解集是．答案：28.x提示：所求不等式为关于x的一元二次不等式．由2436450xx，得31522x，故27x，即28.x8.在三棱锥S-ABC中，4,7,9,5,6,8,SASBSCABBCAC则三棱锥的体积的最大值为．答案：86．提示：设SAB，根据余弦定理有222cos2SAABSBSAAB22245712455，故2261sin1cos,sin46.52SABSSAAB由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以186.3CSABSABFSBC事实上，取7,6SBBC，且CB面SAB时，可以满足已知条件，此时86.CSABV9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是答案；4.9提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为0的概率为12，向上的数为1的概率为13，向上为2的概率为16，如下表所示：012012于是所得向上的数之积的分布列为：012410．观察下列等式：2235515CC；3799591922CCC；511131391351311322CCCC；。。。。。。由以上等式推测出一般的结论：对于*,Nn1414914514114nnnnnCCCCL答案：4121212.nnn11．方程xxxx116cossin16的解的集合是答案：11,44．第一次抛掷第二次提示：当0x时，1168xx，当且仅当14x时取“”．而16sincos8sin28xxx，当且仅当1,4xkkZ时取“”号．于是，当0x时，方程只有一个解1.4x由奇函数的性质可知，14x是方程的另一个解．故方程的解集合为11,.4412．当一个非空数集F满足条件“如果Fba,，则Fbababa,,，且当0b时，Fba”时，我们称F就是一个数域。以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域F有非零元素，则F2016；③集合ZkkxxP,3|是一个数域；④有理数集是一个数域。其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）答案：①②④．提示：根据数域的定义判断，①②④均正确．取3,6ab，则,abP，但12aPb，即③错误．三、简答...
