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页眉内容1页脚内容§5.2可分空间本节重点:掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系;掌握稠密子集的定义及性质.定义5.2.l设X是一个拓扑空间,DX.如果D的闭包等于整个拓扑空间X,即=X,则称D是X的一个稠密子集.以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义.定理5.2.1设X是一个拓扑空间,D是X中的一个稠密子集.又设f,g:X→Y都是连续映射.如果,则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等)证明设.如果f≠g,则存在x∈X使得f(x)≠g(x).令:ε=|f(x)-g(x)|,则ε>0.令=(f(x)-ε/2,f(x)+ε/2)=(g(x)-ε/2,g(x)+ε/2)则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域,从而U=也是x的一个邻域.由于子集D是稠密的,所以U∩D≠.对于任意一个y∈U∩D,我们有,f(y)=g(y)∈,矛盾.我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间,例如具有有限稠密点集的拓扑空间.但这类拓扑空间比较简单,大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形,讨论起来意思不大.例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话,那么这个空间一定就是一个离散空间.相反,后继的讨论表明,许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集.页眉内容2页脚内容定义5.2.2设X是一个拓扑空间.如果X中有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.定理5.2.2每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间.证明设X是一个满足第二可数性公理的空间,B是它的一个可数基.在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点∈B.令D={|B∈B,B≠}这是一个可数集.由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素(其中当然至少会有一个不是空集)之并,因此这个非空开集一定与D有非空的交,所以可数集D是X的一个稠密子集.包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的.这是因为在这样一个拓扑空间中,任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间.可分性不是一个可遗传的性质,也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的.例子见后面的例,因此根据定理推论5.2.3满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间.特别,n维欧氏空间中的每一个子空间(包括它自己)都是可分空间.例5.2.1设(X,T)是一个拓扑空间,∞是任何一个不属于X的元素(例如我们可以取∞=X).令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}.容易验证(请读者自己证明)(X*,T*)是一个拓扑空间.我们依次给出以下三个论断:(1)(X*,T*)是可分空间.这是因为∞属于(X*,T*)中的每一个非空开集,所以单点集{∞}是(X*,T*)中的一个稠密子集.(2)(X*,T*)满足第二可数性公理当且仅当(X,T)满足第二可数性公理.事实上,B是(X,T)的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是(X*,T*)的一个基,而B与B*有相同的基数则是显然的.(3)(X,T)是(X*,T*)的一个子空间.因为T*T.根据这三个论断,我们可有以下两个结论:页眉内容3页脚内容(A)可分空间可以不满足第二可数性公理.因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间(X,T),我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间(X*,T*).(B)可分空间的子空间可以不是可分空间.因为如果选取(X,T)为一个不是可分的空间,我们便能得到一个可分空间(X*,T*)以(X,T)为它的一个子空间.(对X加上一个点后得到的空间就是这么神奇)定理5.2.4每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理.证明(略)根据定理推论5.2.5可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.有关可分性是拓扑不变性质,有限可积性质,可商性质以及对于开子空间可遗传性质等问题我们列在习题中,由读者自己去研究.作业:P1442.4

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