矩阵的基本概念VIP免费

§1矩阵及其运算教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵）的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。知识要点：一、矩阵的基本概念矩阵，是由用空个数组成的一个豹行曲列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素吟錶勺，…表示，其中下标都是正整广a---a、^11UL2%佝如"'捡数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，Ui仏-j或/二蒔表示一个聊也矩阵，下标莎表示元素術位于该矩阵的第J行、第丿列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个肌xl矩阵I耳丿，也称为一个沽维列向量；而一个矩阵血妇垃），也称为一个祀维行向量。当一个矩阵的行数翻与烈数河相等时，该矩阵称为一个曲阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个祁介方阵的主对角线上的元素都是1,而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为耳，即：r0『010巴二......…3°…1丿“。如一个”阶方阵的主对角线上（下）方的元靠10■0、素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，厲1卸2■"術」是%如…％2一个卅阶下三角矩阵，而I。°…汕J则是一个然阶上三角矩阵。今后我们用（町表示数域F上的吻也矩阵构成的集合，而用血山町或者町表示数域F1上的相阶方阵构成的集合。二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果蔦）是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说迓BEM跟（町），则定义它们的和A+B仍为与它们同型的矩阵（即』+肌"嘶側），/+R的元素为月和B对应元素的和，即：川十£二（唏十如）。给定矩阵占二何），我们定义其负矩阵-卫为：亠卜霸）。这样我们可以定义同型矩阵卫』的减法为：厘-呂二川+（-毋。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（1）交换律：£+5=5+£；（2）结合律：＞1十3十㈢二僅十的十U；（3）存在零元：Z+0=O+A=A；（4）存在负元：占十二〔-丿）十川二0。2、数与矩阵的乘法：设朕R为一个数，恥庇,兀」町,则定义代与弭的乘积兄卫仍为叽伯中的一个矩阵，越中的元素就是用数見乘川中对应的元素的道德，即越二（A）。由定义可知：（-1）47。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1）1卫二卫；（2）圮（卫+丑）=圮卫+侃吕；（3）（几十“）占二兄占十山占；（4）（业痒二班坤）二皿。3、矩阵的乘法：设/二热）为鴉也距阵，月二（嘉）为沙！距阵，则矩阵卫可以左乘矩阵S（注意：距阵月德列数等与矩阵E的行数），所得的积为一个瓏灯距阵U，即AB=C，其中°二他J，并且◎=轴切+知竝+"+%如二Z叭。据真的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：（1）结合律：（^0=^0；（2）左分配律：^5+0=^+^；（3）右分配律：僅十历U二川7十5T；（4）数与矩阵乘法的结合律：（3吕=砥血»叔击）；（5）单位元的存在性：即2也£盅=心。=AA■■■A若龙为河阶方阵，则对任意正整数4我们定义：，并规定：甘=E由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，（刖二护。注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便丄占有意义，瓦4也未必有意义；倘使朋,酗都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反定义：设帆1备丿为陀也矩阵，我们定义貝的转置为例）。正是由于这个原因，一般来讲，僅+刖"2+姑珀卯,（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即屈削未必能推出月=0或者5=0（请读者自己举反例）。（3）消去律部成立：如果AB=AC并且恥Q，未必有—C。4、矩阵的转置：一个处鴉矩阵，并用才表示曲的转置，即：I弧旳矩阵的转置运算满足下列运算律：（1）川仁』；（2）（加时二才+肝（3）（诃二需；（4）⑷尸二矿才。5、对称矩阵：^KK向量，丄=（術）为恥於矩阵，试计算『山心向量,为第丿个分量为1，而其余分量全为零的用维列定义1.11祁介方阵卫若满足条件：#二/，则称龙为对称矩阵；若满足条件：才二-小贝I」称』为反对称矩阵。若设/二吗），贝M为对称矩阵，当且仅当陶二呦对任意的▽二…川成立；曲为反对称矩阵...