《等比数列的性质》导学案2VIP专享VIP免费

《等比数列的性质》导学案2知能目标解读1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用.3.掌握等比数列的性质并能综合运用.重点难点点拨重点：等比数列性质的运用.难点：等比数列与等差数列的综合应用.学习方法指导1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…，则===…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.3.如果数列{an}是等比数列，公比为q，c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q；{|an|}也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q，且满足=q，则==q，所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.[4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m，n，t，s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1·a1qn-1=a21qm+n-2，atas=a1qt-1·a1qs-1=a21qt+s-2，又因为m+n=t+s，所以m+n-2=t+s-2，所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则(1){anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.(2){}仍为等比数列，且公比为.理由如下：(1)=q1q2，所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；(2)·=，所以｛}仍为等比数列，且公比为.知能自主梳理1.等比数列的项与序号的关系(1)两项关系通项公式的推广：an=am·(m、n∈N+).(2)多项关系项的运算性质若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则am·an=.特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，则am·an＝.2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即a1·an＝a2·=ak·=a2(n为正奇数).［答案］1.qn-map·aqa2p2.an-1an-k+1思路方法技巧命题方向运用等比数列性质an=am·qn-m(m、n∈N+)解题［例1］在等比数列{an}中，若a2=2，a6=162，求a10.［分析］解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q，再求a10.［解析］解法一：设公比为q，由题意得a1q=2a1=a1=-，解得，或.a1q5=162q=3q=-3∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×(-3)9=13122.解法二： a6=a2q4，∴q4===81，∴a10=a6q4=162×81=13122.解法三：在等比数列中，由a26=a2·a10得a10===13122.［说明］比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.变式应用1已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1，试比较a1+a8与a4+a5的大小.［解析］解法一：由已知条件a1>0，q>0，且q≠1，这时(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)·(1-q4)=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0，显然，a1+a8>a4+a5.解法二：利用等比数列的性质求解.由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).当01时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数， (a1+a8)-(a4+a5)恒正.∴a1+a8>a4+a5.命题方向运用等比数列性质am·an=apaq(m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q)解题［例2］在等比数列{an}中，已知a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=()A.10B.25C.50D.75［分析］已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.［答案］B［解析］解法一： a7·a12=a8·a11=a9·a10=5，∴a8·a9·a10·a11=52=25.解法二：由已知得a1q6·a1q11=a21q17=5，∴a8·a9·a10·a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a41·q34=(a21q17)2=25.［说明］在等比数...