1．1正弦定理第一课时•课标要求：1.通过对三角形中边角关系的探索，掌握正弦定理的推导过程．•2．理解正弦定理及适用范围，会用正弦定理及其变式解决一些简单的解三角形问题．•重点难点：本节重点：对正弦定理的推理的理解及正弦定理的掌握．•本节难点：正弦定理的推理．课标定位基础知识梳理1．正弦定理在一个三角形中，各_____和它所对角的_____的_____相等，即__________________.说明：(1)各边和它所对角的正弦之比为一个定值，这个定值为该三角形的外接圆直径；(2)定理的变式(R为△ABC外接圆的半径)：边正弦比asinA＝bsinB＝csinC①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.②a2R＝sinA，b2R＝sinB，c2R＝sinC.③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.④asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R.•2．解斜三角形•解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求出其余三个未知元素的过程．•3．正弦定理在解三角形中的作用•(1)如果已知三角形的任意两个____与一____，由三角形________________，可以计算出三角形的另一____，并由正弦定理计算出三角形的另两____．•(2)如果已知三角形的任意_______与其中一边的_____，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角，进而确定这个三角形其他的__________．角边内角和为180°角边两边对角边和角课堂互动讲练题型一题型一已知两角及一边解三角形如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．•已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.•【分析】已知两角及一边，先利用内角和为180°，求出B，再利用正弦定理求解．例例11【解】 asinA＝csinC，∴a＝csinAsinC＝10sin45°sin30°＝102. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°，又 bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝10sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．【点评】在运算过程中，要用到三角函数中的公式，此题中对75°角作了“拆角”变换．•1．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.变式训练变式训练解：由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝csinC，∴c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin60°＋45°sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2)．•已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解，是一解还是两解．题型二题型二已知两边和其中一边的对角解三角形例例22已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C和c.【分析】△ABC中已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求出另一边对角的正弦值，然后再求解其他边角．【解】由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝32. a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.•【点评】在△ABC中，已知两边a、b和边b的对角B，解三角形时可先用正弦定理求出角A的正弦值，确定角A时解不确定，应注意讨论，往往利用已知边a、b的大小关系，得到角A与B的大小关系，从而确定角A的解的个数．互动探究互动探究2．(1)若将上题中a＝3改为a＝1.其他条件不变，应如何求解？(2)若将上题中a＝3改为a＝4，其他条件不变，应如何求解？解：(1)根据正弦定理，得sinA＝asinBb＝1×sin45°2＝12， b＞a，∴B＞A，∴A＜45°，∴A＝30°.∴C＝180°－(45°＋30°)＝105°，∴c＝bsinCsinB＝2sin105°sin45°＝2sin(60°＋45°)＝6＋22.(2)根据正弦定理，得sinA＝asinBb＝4×sin45°2＝2＞1，∴无解．•判断三角形的形状主要有两条途径：①化边为角；②化角为边．题型三题型三利用正弦定理判断三角形的形状•在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．•【分析】观察已知条件，可以应用正弦定理把边化为角，再利用三角...
