3．4.2基本不等式的应用课标定位课标要求：1.理解用ab≤a＋b2(a，b≥0)求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值．2．巩固、熟练、深化基本不等式的应用，锻炼分析问题、解决问题的能力．重点难点：本节重点：运用基本不等式a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)求某些函数的最大(小)值．本节难点：运用基本不等式求解实际问题的最值时，如何建模和转化．基础知识梳理1．基本不等式与最值已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得____________.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得____________.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．最大值(s2)2最小值2p•2．利用基本不等式求最值时，应注意的问题•(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．•(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值．•(3)确保等号成立．•以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”．•(4)连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则不能求出最值．3．应用基本不等式的常用技巧获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键．常用的方法有：(1)拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中．如f(x)＝x＋5x＋2x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑．(2)常值代换这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a、b、x、y均为正数)，求1x＋1y的最小值．”和“已知ax＋by＝1(a、b、x、y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．(3)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．如已知a，b为正数，a＋b＝ab－3，求ab的取值范围．可构造出不等式2ab≤a＋b＝ab－3，即(ab)2－2ab－3≥0.课堂互动讲练题型一题型一利用基本不等式求函数的最值1．运用该不等式求最值时，要注意三个条件：(1)一“正”(使用基本不等式时，各项必须为正数)；(2)二“定”(使用基本不等式进行放缩时，最后得到的值必须是一个定值，即若xy为定值，则x＋y2有最小值；若x＋y2为定值，则xy有最大值)；(3)三“相等”(使用基本不等式时，等号必须能够取到，即当且仅当x＝y时取“＝”)．2．在求某些函数最值时，先将所给表达式进行恰当的变形与转化，使得和或积为定值，然后再使用基本不等式求最值．已知x＞1，求y＝x2x－1的最小值．【分析】由题目可获取以下主要信息：①函数解析式为分式且分子的次数高于分母；②由x＞1得x－1＞0.解答本题可先对分子添项凑出因式x－1，将分子中变量分离出来，再添项凑出乘积为定值的形式，用基本不等式求最值．例例11【解】y＝x2x－1＝x2－1＋1x－1＝x＋1＋1x－1＝x－1＋1x－1＋2≥2＋2＝4.当且仅当1x－1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等式成立， x＞1，∴当x＝2时，ymin＝4.•【点评】(1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．•(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判变式训练变式训练解：3x＋4x－1＋1＝3(x－1)＋4x－1＋4≥23x－1·4x－1＋4＝43＋4，当3(x－1)＝4x－1，即x＝233＋1时，等号成立．所以所求最小值为43＋4.1．已知x＞1，求3x＋4x－1＋1的最小值．•在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．题型二题型二含条件的最值的求法已知x＞0，y＞0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值．【分析】解答本题可先通过不等式的放缩把方程转化为不等式，然后通过解不等式求范围．例例22【解】法一： x＞0，y＞0，xy＝4x＋y＋12≥4xy＋12，∴(xy)2－4xy－12≥0，∴(xy－6)(xy＋2)≥0，∴xy≥6，当且仅当4x＝y时取“＝”．由4x＝y且xy＝4x＋y＋12，得x＝3，y＝12.此时xy有最小值36.法二：由xy＝4x＋y＋12，得y＝12＋4xx－1＞0，∴x＞1，y＝12＋4xx－1两边同乘x得xy＝12＋4xxx－1(x＞1)．令t＝x－1＞0，得xy＝43＋t＋1...
