2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义兰州九中姜旭东教学目标：知识与技能：1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；3、了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.过程与方法：（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。学习重点：平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)学习难点:平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。教学方法：探究、精讲学习方法:自主、合作探究学习法学习过程：回顾复习：向量的夹角：两个非零向量夹角的概念：非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角（两向量必须是同起点的）特别地：当θ＝０时，与同向；当θ＝π时，与反向；当θ＝时，与垂直，记⊥；物理问题：一个物体在力的作用下产生的位移，那么力F所做的功应当怎样计算？结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？一、平面向量的数量积的定义1、定义：已知两个非零向量和，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即.其中是和的夹角（０≤θ≤π）说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（2）记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。问题1：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？问题2：向量的数量积运算与同向量的线性运算的结果有什么不同？向量的线性运算的结果是向量，两向量的数量积是一个实数，是一个数量。问题3：设和都是非零向量，时，等于多少？反之成立吗？问题4：当与同向时，等于多少？当与反向时，等于多少？特别地，等于多少?当与同向时,;当与反向时,问题5：与的大小关系如何？为什么？问题6：对于与，如何求他们的夹角？2、向量数量积的性质以上五条,,00ABCABaACbababABC�练习1、已知中，当或时，试判断的形状。二、平面向量数量积的几何意义（1）向量投影的概念：如图，我们把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影.说明：（1）作图：当为锐角时投影为正值当为钝角时投影为负值当＝９０时投影为0当=0时投影为||；当＝９０时投影为0；当=180时投影为||（2）投影是一个数量，不是向量。向量的数量积的几何意义：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos的乘积。（2）向量的数量积的几何意义：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos的乘积。三、数量积的运算律（1）交换律（2）对数乘的结合律（3）分配律运算律（2）与（3）的证明下节给出课堂小结：1、向量的数量积的定义2、向量数量积的性质3、向量数量积的几何意义4、数量积运算律作业布置课后反思
