一、填空题1．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝________.解析：由余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos120°.解得AC＝3，因此△ABC的面积S＝×AB×AC×sin120°＝.答案：2．在锐角△ABC中，已知|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为，则AB·AC的值为________．解析：由S△ABC＝|AB|·|AC|sinA＝×4×1×sinA＝，得sinA＝.∵A是锐角，∴cosA＝＝.∴AB·AC＝|AB|·|AC|cos＜AB，AC＞＝4×1×cosA＝2.答案：23．在△AOB中，OA＝(2cosα，2sinα)，OB＝(5cosβ，5sinβ)．若OA·OB＝－5，则△AOB的面积S△AOB等于________．解析：由向量数量积的定义，得OA·OB＝10(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝10cos(α－β)＝－5.∴cos(α－β)＝－，∴∠AOB＝120°.∴S△AOB＝×|OA|×|OB|×sin120°＝×2×5×＝.答案：4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c若c＝，b＝，B＝120°，则a等于________．答案：5．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cosB＝________.解析：由正弦定理＝，又∵a＝b，A＝2B，∴＝，b≠0，sinB≠0，∴＝1，∴cosB＝.答案：6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为________．解析：由S△ABC＝bcsinA，cosA＝，S△ABC＝bh，三式联立得，h＝.答案：二、解答题7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cosA＝，求△ABC的面积．解：∵b2－bc－2c2＝0，∴()2－－2＝0，即b＝2c.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－bc＝6.②将①②联立解得，b＝4，c＝2.∵cosA＝，∴sinA＝＝，∴S＝bcsinA＝.8．△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．解：由已知＝＝＝.∴＝.以下可有两种方法．法一：利用正弦定理边化角由正弦定理，得＝，∴＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：利用余弦定理角化边由余弦定理，得＝，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)，∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0，∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0，∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2，1∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．2
