垂直于弦的直径（1）教学目标知识与技能1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性.2掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.过程与方法1利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.重点：运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．难点：运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．一、课前预习【教材自学】：请学生自主学习教材第二十四章P80至P81，完成如下问题：1.圆的对称性：圆是________图形，对称轴是________所在的直线。2.垂径定理：垂直于弦的直径_____________，并且________________弦所对的两条弧。二、课堂探究【探究一】：圆的对称性：1、请大家说说圆的对称性及对对称轴的认识（利用手中的圆进行探究）2、圆的对称性（小组交流）【探究二】：垂径定理：问题1：如图（1），⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E。把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？问题2：你能证明图中AE=BE吗？问题3：当上述的弦AB为直径时，结论成立吗？【小结归纳】1、垂径定理（小组交流识记）2、对照上图将垂径定理写成推理形式（符号语言）在⊙O中，∵_________________、_________________；∴_________________、__________________、__________________。引导学生归纳出：条件：（1）过圆心（2）垂直于弦结论：（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧【针对训练】判断下列命题是否正确：（1）直径是圆的对称轴。（）（2）垂直于弦的直径平分这条弦。（）（3）过圆心垂直于弦的直线平分弦所对的弧。（）【探究三】：垂径定理的运用问题1：利用垂径定理求圆中线段的长已知：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为6，OC⊥AB交AB于E，（1）若弦心距OE长为4，则半径OA长为多少？（2）若弓形高CE长为1，则半径OA长为多少？（学生先独做、然后交流、小组展示并评价）教师强调符号语言的书写【小结归纳】圆中常见的辅助线：构造由_______、________、_______组成的直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．【针对训练】1、如图，已知⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于E。（1）若AB=12，0A=10，则OE=______，EC=______；（2）若OA=10，OE=8，则AB=______；（3）若AB=12，EC=2，则OA=？（列式解答）问题2：利用垂径定理证明圆中的线段相等已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC＝BD。（独立完成、小组交流、个别展示）【针对训练】在圆O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC与E.求证：四边形ADOE是正方形（学生上台展示书写过程）【课堂总结】（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理；（3）圆中常见的辅助线是：构造由_______、________、_______组成的直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．【当堂评价】（10分钟）1、如图，已知⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于E。（1）若AB=6，0A=5，则OE=______，EC=______；（2）若OA=5，OE=4，则AB=______.2、如图是排水管的截面，水面宽AB=16cm，排水管里的水深（弓形高）为4cm。求排水管的半径。变式提升.已知：如图，AB、CD是半径为5cm的圆O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm,CD=6cm,求弦AB与CD的距离.【作业布置】提单【学习反思】
