专题3转化与化归思想化归就是转化和归结，它是解决数学问题的基本方法，在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，以求得问题的解答.中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易、化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想.1．f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于________．解析：由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)的周期为2，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案：－0.52．若m，n，p，q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是________．解析：(mp＋nq)2＝m2p2＋2mpnq＋n2q2≤m2p2＋m2q2＋n2p2＋n2q2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝ab.所以－≤mp＋nq≤，当且仅当mq＝np时等号成立．答案：3.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋P4F＋P5F＋P6F＋P7F＝________.解析：设椭圆的另一个焦点为F′，根据椭圆的对称性知，P1F＋P7F＝P1F＋P1F′＝2a，P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2a，又|P4F|＝a，∴P1F＋P2F＋P3F＋P4F＋P5F＋P6F＋P7F＝7a＝35.答案：354．已知关于x的方程x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0有惟一解，则实数a的值为________．解析：令f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3，显然f(x)是偶函数，方程f(x)＝0要有惟一实根，则此根必为x＝0，故2a＋a2－3＝0，解得a＝1或a＝－3，当a＝－3时，易知方程f(x)＝0不止有一个实根，故a＝1.答案：15．已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S－BCED的体积为________．解析：由S△ADE＝S△ABC，得VS－BCED＝VS－ABC＝VA－BSC＝×××SB×SC×SA＝.答案：(1)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．(2)若不等式＋≥对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，＋1∞)，则正整数m只能取________．[解析](1)将侧面展开后可得：当A、M、C1三点共线时，AM＋MC1最小，又AB∶BC＝1∶2，AB＝1，BC＝2，CC1＝3，所以AM＝，MC1＝2.又在原三棱柱中AC1＝＝，所以cos∠AMC1＝＝＝－，故sin∠AMC1＝.所以三角形面积为S＝××2×＝.(2)由＋≥(x>0，y>0)⇒≥⇒＋≥，所以小于等于＋(x>0，y>0)的最小值，因为＋≥2＝(当且仅当x2＝27y2时取等号)，所以3k≥＝＝2×3⇒log33k≥log3(2×3)⇒k≥log32＋.所以k的取值范围是，所以k∈[m，＋∞)是k∈的必要不充分条件，即m
