专题五数列的综合应用专题五数列的综合应用数学苏(理)第六章数列1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定基础知识·自主学习要点梳理2．数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等．3．解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．基础知识·自主学习要点梳理4．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．基础知识·自主学习要点梳理题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测115102n－12－n＋22n212【例1】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．题型分类·深度剖析题型一解析探究提高思维启迪等差数列与等比数列的综合应用题型分类·深度剖析题型一等差数列与等比数列的综合应用第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明．解析探究提高思维启迪【例1】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．题型分类·深度剖析题型一解析探究提高思维启迪等差数列与等比数列的综合应用【例1】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．(1)解由an＝a1＋(n－1)d,a10＝30，a20＝50，得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.∴an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)证明由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，∴bn＋1bn＝4n＋14n＝4，∴{bn}是首项是4，公比q＝4的等比数列．题型分类·深度剖析题型一对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．解析探究提高思维启迪等差数列与等比数列的综合应用【例1】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．变式训练1数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.题型分类·深度剖析解(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，变式训练1数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.题型分类·深度剖析又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d1＝2，d2＝－10. 等差数列{bn}的各项为正，∴d>0，∴d＝2，b1＝3，∴Tn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.【例2】已知函数f(x)＝log2x－logx2(0
