数列考前复习要点讲解VIP专享VIP免费

数列考前复习要点讲解考点1：由an与Sn的关系求通项an例1：已知数列{an}的前n项和Sn，Sn＝3n＋b.求{an}的通项公式。[类题通法]:已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．训练1：已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*，求{an}的通项公式．考点2：由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：1形如an＋1＝anfn，求an；2形如an＋1＝an＋fn，求an；3形如an＋1＝Aan＋BA≠0且A≠1，求an.角度一形如an＋1＝anf(n)，求an例2：(2012·全国卷II)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．角度二形如an＋1＝an＋f(n)，求an例3：已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an.角度三形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an例4：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.[类题通法]:由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．考点3：等差数列的判断与证明等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．例5：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列．(2)求Sn和an.变式：若将条件改为“a1＝2，Sn＝(n≥2)”，如何求解.[类题通法]:1．判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．训练2：在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．考点4：等比数列的三种判定方法(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．2．等比数列的常见性质(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；(2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、、{a}、{an·bn}、(λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk；(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．例6：设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．3.等比数列的判定与证明例7：已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．变式2：在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2),证明{bn}是等比数列.[类题通法]:证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只...