2412垂直于弦的直径 (2)VIP免费

1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出主桥拱的半径吗？活动一、创设情景，发现问题通过这节课的学习，我们就会很容易解决这一问题。１．（１）圆是轴对称图形吗？（２）如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？（３）你是用什么方法解决上述问题的?答：圆是轴对称图形.答：圆的对称轴是任何一条直径所在的直线,它有无数条对称轴.答：利用对折.●O２．（１）圆是中心对称图形吗？（２）如果是,它的对称中心是什么?（３）你又是用什么方法解决这个问题的?答：圆也是中心对称图形.答：它的对称中心就是圆心.答：用旋转的方法即可解决这个问题.活动二、诱导尝试，探索新知如图1,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.(1)这个图形是轴对称图形吗?若是,那么它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.●OCDM└AB是轴对称图形，其对称轴是CD.,,.AMBMACBCADBD动动脑筋！叠合法●OABCDM└已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CDAB⊥，垂足为E。求证：,,.AMBMACBCADBD证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别BC、BD重合。因此,,.AMBMACBCADBD●OABCDM└●OABCDM└●OABCDM└垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。符号语言:文字语言：图形语言①CD是直径②CDAB⊥③AM=BM④⑤AD=BDAC=BC●OCDM└ABEDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCAB·ABCDOM如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O③AM=BM，(AB不是直径)?②CDAB⊥④⑤AD=BDAC=BC条件结论垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。·ABCDOM①直线CD过圆心O③AM=BM，(AB不是直径)②CDAB⊥④⑤AD=BDAC=BC根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论注意判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√例１．如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BDABCDOE证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD辅助线：圆中常作辅助线，半径，垂直于半径的弦。垂直于弦的直径。实际上从圆心作与弦垂直的线段。辅助线：圆中常作辅助线，半径，垂直于半径的弦。垂直于弦的直径。实际上从圆心作与弦垂直的线段。活动三、变式运用，巩固新知例21300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).垂径定理的应用在RtOAD△中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.AB=37.4CD=7.2AD=AB=×37.4=18.72121OD=OC－DC=R-7.2OA2=AD2+OD2即：R2=18.72+(R－7.2)2CDOAB解:如图,用AB表示主桥拱，设所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,根据前面的结论,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高1.如图1,在圆O中,若MNAB,MN⊥为直径,则_________,__________...