教学设计示例圆的一般方程（一）教学目标：1）掌握圆的一般方程及其特点．2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．教学重点：1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．2）用待定系数法求圆的方程．教学难点：圆的一般方程特点的研究．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】前边已经学过了圆的标准方程把它展开得任何圆的方程都可以通过展开化成形如①的方程【问题1】形如①的方程的曲线是否都是圆？师生共同讨论分析：如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得②显然②是不是圆的方程与是什么样的数有密切的关系。具体如下：⑴当﹥0时，方程表示以，为圆心，以为半径的圆。⑵当＝0时，方程表示一个点，⑶当﹤0时，方程不表示任何图形。总结形如①的方程可能表示一个圆，可能表示一个点，也可能不表示任何图形。【新授】圆的一般方程的定义当﹥0时，方程表示以，为圆心，以为半径的圆。此时①称为圆的一般方程。即称形如（﹥0）为圆的一般方程。【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．圆的标准方程在于它明确地指出了圆心和半径，一般方程突出了方程形式上的特点：⑴和的系数相同，不等于零；⑵没有这样的二次项。【问题3】圆的一般方程与一般的二元二次方程③相比较，上述⑴⑵两个条件只是③表示一个圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件。【问题4】要求出圆的一般方程，只要求出三个系数、、。【例题讲解】例1下列方程各表示什么图形？⑴⑵⑶⑷解：⑴表示一个点（0，0）⑵配方得，表示一个以（1，-2）为圆心，以为半径的圆。⑶配方得，表示一个以（3，0）为圆心，以3为半径的圆。⑷配方得，则当时表示一个点（-，0）；当时，表示以（-，0）为圆心，以为半径的圆。例2方程若表示一个圆，求的取值范围。解配方得则方程表示一个圆有﹥0，即﹤所以的取值范围为例3求经过三点（0，0）、（1，1）、（4，2）的圆的方程，并求圆的圆心与半径。分析，由所学可知本题可用圆的一般方程来解，也可用圆的标准方程来解解设圆的方程为，由题意得①②③联立①②③得到则圆的一般方程为，圆心为（4，-3），半径为5请同学们再用标准方程来解，并作出比较。【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．【练习巩固】1、求下列各圆的半径与圆心坐标：⑴⑵2、求过三点（0，0），（3，2），（-4，0）的圆的方程，并求出它的圆心与半径。【小结】师生共同总结：（1）圆的一般方程及其特点．（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．（3）用待定系数法求圆的方程．【作业】1、求下列圆的一般方程：⑴过点（5，1），圆心为点（8，-3）；⑵过三点（-1，5）、（5，5）、（6，-2）。2、求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：⑴⑵⑶⑷【板书设计】圆的一般方程圆的一般方程例1：例2：例3：练习：小结：作业：
