14.4不等式选讲解答题1．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解析(1)证明f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3.所以－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．2．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明法一因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－，②所以2≥9(abc)－.故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理＋＋≥＋＋，②故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立，当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．3．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.证明因为m＞0，所以1＋m＞0，所以要证2≤，即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故2≤.4.已知，不等式的解集为｝。(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。解析5．已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ＜c.求证：cos2θ＋sin2θ＜.证明由柯西不等式，可得cos2θ＋sin2θ≤[(cosθ)2＋(sinθ)2](cos2θ＋sin2θ)＝(acos2θ＋bsin2θ)＜.6．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1.证明法一左边－右边＝＋－1＝＝因为a＋b＝2，所以左边－右边＝.因为a，b都是正实数，所以ab≤＝1.所以左边－右边≥0，即＋≥1.法二由柯西不等式，得[()2＋()2]≥(a＋b)2.因为a＋b＝2，所以上式即为×4≥4.即＋≥1.法三因为a，b都是正实数，所以＋≥2a，＋≥2b.两式相加，得＋＋＋≥2a＋2b，因为a＋b＝2，所以＋≥1.7．设x，y，z为正数，证明：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．证明因为x2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)．同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)．三式相加，即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)．又xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．8．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．证明因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2，即＋＋≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1.
