高中数学第二章函数-二次函数(竞赛精讲)VIP专享VIP免费

二次函数一、基础知识：1．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a丰0)()顶点式：f(x)=a(x-h)2+k,顶点为(h,k)()两根式：f(x)=a(x-x)(x-x)12，、一-”、(x―x)(x―x)“、，(x―x)(x―x)”、，(x―x)(x―x)”、()二点式：f(x)=p匸f(x)+p匸f(x)+pf(x)(x-x)(x-x)3(x-x)(x-x)2(x-x)(x-x)1313221231213•二次函数的图像和性质2(1)f(x)=ax2+bx+c(a丰0)的图像是一条抛物线，顶点坐标是(-,)，对称轴方程为2a4abx=-，开口与a有关。2abb()单调性：当a>0时，f(x)在(-8,-亍］上为减函数，在［-亍,+8)上为增函数；a<0时相反。2a2a()奇偶性：当b=0时，f(x)为偶函数；若f(a+x)=f(a-x)对xeR恒成立，则x=a为f(x)的对称轴。4ac—bb()最值：当xeR时，f(x)的最值为，当xe［m,n］，-e［m,n时，f(x)的最值可从4a2abbf(m),f(n),f-亍中选取；当xe［m,n］,-丁电［m,n］时，f(x)的最值可从f(m),f(n)中选取。常依轴2a2a与区间［m,n］的位置分类讨论。.三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a丰0)的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。二、综合应用：例1：已知f(x)=x2+ax+3—a，若xe—［2,2］时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。例•设f(x)=ax2+bx+c(a丰0)满足条件：(1)当xeR时，f(x—4)=f(2-x)且f(x)>x，()当(x+1xe(0,2)时,f(x)<——，()f(x)在上的最小值为0。①求f(x)的解析式；②求最大的m(m>1)k2丿使得存在teR，只要xe［1,m］就有f(x+1)b>c,a+b+c=0,(a,b,cGR).（1）求证：两函数的图像交于不同的两点、；⑵求线段AB在x轴上的射影AiBi的范围。命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合错解分析：由于此题表面上重在“形，”因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法：利用方程思想巧妙转化Iy=ax2+bx+c、狙由「消去得ax2Iy=-bx例.已知二次函数（x）axx（a是常数，且aM0）满足条件：（—1）—x），且方程（x）2有等根。①求（x的解析式；②是否存在实数，（，使）（x的定义域和值域分别为［和［?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。解析：①・方程（x）有等根n/=0—2b・（—1）—x）n（x）（2—|图象的对称轴为x_i>a12a（x）2xx②（x）（x首1f(m)=4mf(n)二4nns••?•存在这时定义域为，满足条件。,值域为例.对于函数，若存在实，满①若证明②设存在不动点，试。求使所有存在不动点，则(G，下的不动点。已知三。，则称为)成立的所有正实数值的集合。的不动点。综上所述：对于任意G②方法一：••.n-•・•要使依此类推，要使存在不动点都存在不动点，并且有相同的不动•°・—n的取值范围n舍去求实数a的取值范围，使得对于任意实数x和任意实数0e[0,中]，恒有2s0n0os胖(x+asin+a设t=sin0+cos0,te[l,、：2]，原不等式化为：(x+2+12)2+(x+at)2>-恒成立8记f(x)=(x+2+12)2+(x+at)2，则丄""b8min•.8严丁)2n2t2-2at...