BFDAECM49、矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD2，AD=1，EF=3．（Ⅰ）证明：AE平面FCB；（Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值（Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？证明你的结论．解：(1)平面ABCD平面ABEF,且四边形ABCD与ABEF是矩形,AD平面ABEF,ADAE,BC∥ADBCAE又FD=2,AD=1,所以AF=EF=3,所以四边形ABEF为正方形.AEFB,又BF，BBCBF平面BCF，BC平面BCF所以AE平面BCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在中FDBOH//BD,HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),在HFO中,OH=1,FH=1,FO=26,cosHOF=46异面直线BD与AE所成的角的余弦值为46⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8分(3)当N为FD的中点时,MN∥平面FCB证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，则NG//FC,MG//BC,又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G所以平面NGM//平面FBC,MN平面NGMMN//平面FBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，,,9010AAABACBACE是BC的中点。(1)求异面直线AE与A1C所成的角；(2)若G为C1C上一点，且EG⊥A1C，试确定点G的位置；(3)在（2）的条件下，求二面角A1-AG-E的大小（文科求其正切值）。解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设aAAABAC21，则,22,2111aCAaEA.2211111aCBCE.6212111aCCCECECEA11在中，212222682cos22211aaaaaCAE。FEDCBAGFDECBA所以异面直线AE与A1C所成的角为3。------------------4分（2）.由（1）知，A1E1⊥B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱11EA⊥BCC1B1,又EG⊥A1CCE1⊥EG.∠.11CCE=∠GEC11CCE~GECCCECCECG111即aaaCG222得aCG所以G是CC1的中点------------------------------8分（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC.又平面ABC⊥平面ACC1A1EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AGEQ⊥AG.∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.由EP=a,AP=a,PQ=5a,得5tanPQPEPQE所以二面角C-AG-E的平面角是arctan5，而所求二面角1AAGE是二面角C-AG-E的补角，故二面角1AAGE的平面角是π－arctan5------------------------12分（文）二面角1AAGE的平面角的正切值为－5。------------------------12分45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=2，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图).(1)当x=2时，求证：BD⊥EG；(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.解:（1）（法一） 平面AEFD平面EBCF,AE⊥EF,∴AE⊥面平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）⋯⋯⋯⋯2分FEDCBAxGFDECBAyzBD（－2，2，2），EG（2，2，0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分BDEG（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴BDEG⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，⋯⋯⋯⋯⋯1分由平面AEFD平面EBCF知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分而BD平面DBH，∴EG⊥BD。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（或者直接利用三垂线定理得出结果）（2） AD∥面BFC，所以()fxVA-BFC＝13BFCsAE＝13124(4-x)x2288(2)333x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分即2x时()fx有最大值为83。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（3）（法一）设平面DBF的法向量为1(,,)nxyz， AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），F（0，3，0）,∴(2,3,0),BFBD（－2，2，2）,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分则1100nBDnBF，即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0xyzxyz，2220230xyzxy取x＝3，则y＝2，z＝1，∴1(3,2,1)n面BCF的一个法向量为2(0,0,1)n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分则cos<12,nn>=12121414||||nnnn⋯⋯⋯...
