第4讲直接证明与间接证明分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．下列各式中对x∈R都成立的序号是________．①lg(x2＋1)≥lg(2x)②x2＋1＞2x③≤1④x≥＋2解析①④中x必须大于0，故①④排除，②中应x2＋1≥2x，故②不正确．答案③2．下列命题：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②四面体的三组对棱都是异面直线；③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；④设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数；其中假命题的序号是________．解析a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故④错误．答案④3“．命题如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}”一定是等差数列是________命题(“”“”填真、假)．解析∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．答案真4．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋，则下列关于a，b，c三个数的结论，正确的序号是________．①都大于2②都小于2③至少有一个不大于2④至少有一个不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥＋＋＝＋＋6，当且仅当a＝b＝c“”时，＝成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案④5．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为________．解析∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．∴f≤f()≤f.答案A≤B≤C6“．定义一种运算*”：对于自然数n满足以下运算性质：(ⅰ)1].解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2…＝＝1*1+(n-1).又∵1*1=1,∴n*1=n.答案n二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．8．(·南通模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．解(1)设等差数列{an}的公差为d，则由得解得故an＝2n－1，Sn＝n2.(2)假设存在正整数t.由(1)知bn＝，要使b1，b2，bm成等差数列；则需2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，整理，得m＝3＋.当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．分层训练B级创新能力提升1．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b2．已知函数f(x)满足f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＝________.解析由f(p＋q)＝f(p)f(q)，令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)，原式＝＋＋＋＝2f(1)＋＋＋＝8f(1)＝24.答案243．(·辽宁卷)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a>0，证明：当0f；(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0.(1)解f(x)的定义域为(0∞，＋)．f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0∞，＋)上单调递增．②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，g′(x)＝＋－2a＝.当00，而g(0)＝0，∴g(x)>0，故当0f.(3)证明由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点．∴a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0f＝f(x1)＝0.从而x2>－x1，于是x0＝>.由(1)知f′(x0)<0.
