依据表格特征探究函数解析式陕西省宝鸡市岐山县罗局初级中学陈军利郑建宁邮编:722404内容提要：阐述怎样由列表法确定四种函数的类型及其应用。若表格中的每对y与x的比值为一定值，则这两个变量满足正比例函数。当表格中的自变量的取值连续均匀分布时，对应的两个连续因变量的差值为一定值时，这两个变量一定满足一次函数。因而若表格中的x与y的乘积为一定值，则两个变量满足反比例函数关系。若表格中的因变量的取值连续分布且间隔相同时，先把因变量的取值第一次做差，再把第一次做差的结果再次做差，若第二次做差的差值为一定值则两个变量满足二次函数。关键词：商为定值，第一次作差为定值，成绩为一定值，第二次作差为一定值。正文：在九年级第二学期数学复习中，有一道题，给出两个变量的一组对应值，如：n12345m1361015问题：试确定两个变量之间的函数关系式。在初中要确定两个变量之间的函数关系式，可根据待定系式法来确定。但问题是题目并没有表明m和n之间满足什么类型的函数，因而给此题的解答造成一定的困难，困难的理由是要在正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数四种函数中进行筛选。下面本人依据自己近几年的教学实践，总结了筛选四种函数类型的一般方法。一、正比例函数。根据正比例函数解析式y=k/x(k≠0)可得k=y/x,因而若表格中的每对y与x的比值为一定值，则这两个变量满足正比例函数，而这个定值恰好是正比例函数解析式中的常数k。二、一次函数。当表格中的自变量的取值连续均匀分布时，对应的两个连续因变量的差值为一定值时，这两个变量一定满足一次函数。而这个定值的绝对值是一次函数解析式中的k。比如有两个变量满足表格：x0123…y1357…分析： 3-1=2；5-3=2；7-5=2∴y是x的一次函数解：由分析得y是x的一次函数 设y=kx+b（k≠0）当x=0时，y=1；当x=1时，y=3解方程组得1=b3=k+b k=2b=1∴y=2x+1由此可得k与定值相同。三、反比例函数：根据反比例函数的定义y=k/x(k≠0)得k=xy，又k为一定值。因而若表格中的x与y的乘积为一定值，则两个变量满足反比例函数关系。如两个变量满足表格：X-3-2-1123Y-2-3-6632 (-3)×(-2)=6；(-2)×(-3)=6；(-1)×(-6)=6；……又6为一定值，∴y是x的反比例函数，并且6恰好是反比例解析式中的k，则y=6/x,问题得以解决。四、二次函数：当表格中给出x和y的一组对应值，若表格中的因变量的取值连续分布且间隔相同时，先把因变量的取值第一次做差，再把第一次做差的结果再次做差，若第二次做差的差值为一定值，则两个变量满足二次函数。下面解决前面提出的问题，解及分析：第一次做差：3-1=2；6-3=3；10-6=4；15-10=5。第二次做差：3-2=1；4-3=1；5-4=1。 1为一定值∴y是x的二次函数。设m=an2+bn+c(a≠0) n=1,m=1；n=2，m=3；n=3，m=6；依题意得：1=a+b+c3=4a+2b+C6=9a+3b+c解方程组得a=1/2b=1/2c=0∴m=1/2n2+1/2n2为了进一步确信所得到的二次函数正确无疑，可以将前面没有用的一组或几组x与y的对应值带入进行验证。如：当n=4时，m=1/2×42+1/2×4=8+2=10,符合题意，由此可得所得的二次函数一定正确。再比如x和y满足表格x-2-101234…y116323611…理由自变量x从-2到4，连续取值，且间隔相同，让对应的因变量y第一次做差：6-11=-5；3-6=-3；2-3=-1；3-2=1；6-3=3；11-6=5；第二次做差：（-3）-（-5）=2；（-1）-（-3）=2；1-（-1）=2；3-1=2；5-3=2；并且2为一定值，∴y是x的二次函数。具体解法可根据待定系数法来求做。当然这道题可隐含了一个重要的信息，（0,3）和（2，3）关于直线x=1对称，（-1，6）和（3，6）关于直线x=1对称，由此可以猜想y是x的二次函数。实践运用（2009，湖州市），如图，每个小长方形都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？A6个B7个C8个D9个解及分析：要任意画一条抛物线，使它最多能经过31个格点中的多少个，学生要在短时间做出来，确实不易，理由如下，及时告诉了二次函数解析式，也只能依据描点法作出近似图象，在没有告诉具体解析式的情况下只能作出大致图象，要用大致图像确定答案，则十分困难，估计学生...
