哈对青一中高中（数学）学科新授课学案主备人：拟上课时间：授课班级：学生姓名：课题3.2.3向量法在空间垂直中的应用三维目标㈠知识目标：理解空间中线线、线面、面面的垂直关系如何用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系来表示．㈡能力目标：会用向量解决空间中的垂直关系．㈢德育目标：通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣。重点用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间中的垂直关系．难点向量共线、垂直与空间线、面垂直的联系．知识链接1．空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔2.空间中垂直关系的证明方法线线垂直线面垂直面面垂直①证明两直线的方向向量的数量积为0.②证明两直线所成角为直角.①证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量．②证明直线与平面内的相交直线互相垂直.①证明两个平面的法向量垂直．②证明二面角的平面角为直角.新课导学升级训练一、线线垂直[例1]已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.[分析]正方体是特殊几何体，从一顶点出发的三条棱相互垂直，故方便建系，求出点的坐标，然后只要验证MN·BB′＝0，MN·A′C＝0即可．练习1.空间四边形ABCD的对边AB与CD,AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直。二、线面垂直3.2.3向量法在空间垂直中的应用1[例2]如图在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明CD⊥AE；(2)证明PD⊥平面ABE.[解析]以A为原点，AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，练习2用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．三、面面垂直[例3]已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)证明：平面PAD⊥平面PAB.练习3.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.达标测试一、选择题1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝()A．1B．－2C．－3D．32．若两个不同平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(2,3,8)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确二、填空题3．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则3.2.3向量法在空间垂直中的应用2l与α的关系为________．4．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.三、解答题5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.[点评]①证明直线l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a·b＝0.②证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明a∥n.或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明a·e＝0，b·e＝0.③证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n1、n2，证明n1·n2＝0.或取一个平面α的法向量n，在另一个平面β内取基向量{e1，e2}，证明n＝λe1＋μe2.总结反思3.2.3向量法在空间垂直中的应用3
