数列通项的求法【知识点精讲】求数列的通项方法1、由等差,等比定义,写出通项公式2、利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3、一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证:根据递推式求前几项,猜出通项,用归纳法证明6、对含an与Sn的题,进行熟练转化为同一种解题【例题选讲】例1、设{an}的首项为1的正项数列,且求它的通项公式。解:由题意a1=1,an>0,(n=1,2,3,…..)变式:已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,解:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…..+(a2-a1)+a1[点评]根据数列递推公式,利用迭加(an-an-1=f(n))、迭乘(an/an-1=f(n))、迭代例2、已知数列{an},a1=1,an+1=解法一:由(1)-(2)得:设法二:设设,法三:………[点评]注意数列解题中的换元思想,如对数列递推式,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列练习:(1):数列{an}中,a1=1,2an=解方法同上:(2)数列{an}中,a1=1,解:原式化为,利用换元思想。利用上法得例3、(猜证)已知数列{an}满足a1=1,(1)求a2,a3,a4(2)证明:解:(1)a2=4a3=13a4=40(2)a1,a2,a3,a4由前可知,成立假设n=k时也成立,即n=k+1时,也成立综上,练习:设正数数列{an}前n项和Sn,存在正数t,使得对所有自然数n,有则通过归纳猜想得到Sn并证明?解:n=1时,得a1=t,n=2时,得a2=3t,n=3时,得a2=5t,猜测an=(2n-1)t证明:n=1,2,3时,已经成立假设n=k时也成立,即ak=(2k-1)t,则Sk=k2tn=k+1时,也成立综上,an=(2n-1)t,Sn=n2t[点评]用数学归纳法,由n=k证明n=k+1成立时,从递推式入手例4、设数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,满足关系(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=(n=2,3,4,…..)求{bn}的通项公式解(1)由又得证(2)[点评]对an与Sn进行熟练转化解题练习:设数列{an}为正项数列,若对任意正整数n,an与2得等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项,求{an}的通项公式解:备用补充:求下列数列(1)(2)(3)答案【课堂小结】求数列的通项方法1.由等差,等比定义,写出通项公式2.利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3.一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列4.利用换元思想5.先猜后证:根据递推式求前几项,猜出通项,用归纳法证明6.对含an与Sn的题,进行熟练转化为同一种解题【作业布置】优化设计