第一节数列考纲点击1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.热点提示1.已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项.2.以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想.1．数列的定义按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类一定顺序分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1，1，－1…><3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和．4．数列的通项公式如果数列的第n项an与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．{}an列表法图象法解析法序号nan＝f(n)1.数列是否可以看作一个函数，若是，则其定义域是什么？提示：可以看作一个函数，其定义域是正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，…，n），可表示为an=f（n）.2．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝，有的数列没有通项公式．－1(n为奇数)1(n为偶数)1．数列1，85，157，249，…的一个通项公式an是()A.n22n＋1B.n(n＋2)n＋1C.(n＋1)2－12(n＋1)D.n(n＋2)2n＋1【解析】 1可以写成，∴分母为3,5,7,9，即2n＋1，分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6，故为n(n＋2)，即an＝.n(n＋2)2n＋133此题也可用排除法求解，只需验证当n＝1时A选项为，B选项为，C选项为，均不为1，故排除A、B、C，从而选D.【答案】D2．在数列中a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100＝()A．1B．－1C．5D．－5133234an【解析】方法一：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得a100＝－1.方法二：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.【答案】B3．已知数列的通项公式是an＝，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列an2n3n＋1【解析】方法一： an＋1－an＝2(n＋1)3(n＋1)＋1－2n3n＋1＝2[3(n＋1)＋1](3n＋1)>0，∴an＋1>an，数列an为递增数列．方法二：研究函数f(x)＝2x3x＋1(x>0)的单调性，f(x)＝2x＋23－233x＋1＝23(3x＋1)－233x＋1＝23－23(3x＋1)，∴f(x)＝2x3x＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴f(n＋1)>f(n)，故an＋1>an，数列an为递增数列．【答案】A4．已知数列前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，则它的通项公式为________．【解析】当n＝1时，a1＝S1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5.a1不适合an，则其通项公式为an＝.【答案】an＝0(n＝1)4n－5(n≥2)0(n＝1)4n－5(n≥2)5．已知数列的前n项积为Tn＝5n2，n∈N*，则a2009＝______.【解析】当n≥2时，an＝＝52n－1.∴a2009＝52×2009－1＝54017.【答案】54017TnTn－1＝5n25(n－1)2an由数列的前几项求数列的通项公式写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…(2)12，34，78，1516，3132，…(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…(4)3,33,333,3333，…【思路点拨】由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一．【自主探究】(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2.(2)每一项分子比分母少1，而分母可写为21,22,23,24,25，…，故所求数列的一个通项公式可写为an＝.(3)带有正负号，故每项中必须含有(－1)n＋1这个因式，而后去掉负号，观察可得．将第二项－1写成－.2n－12n55分母可化为3,5,7,9,11,13，…为正奇数，而分子可化为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，…故其一个通项公式可写为：an＝(－1)n＋1·.(4)将数列各项改写为，…分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．n2＋12n＋193，993，9993，9...
