平面直角坐标系中的基本公式VIP免费

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式一.两点间的距离公式当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线BB1和AA2相交于点C。B2B1A2A1B(x2,y2)A(x1,y1)OyxC在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|，|BC|=|A2B2|=|y2－y1|，B2B1A2A1B(x2,y2)A(x1,y1)OyxC由勾股定理得|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2，由此得到计算两点间距离的公式：d(A，B)=|AB|222121)()xxyy（当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；当B为原点时，d(A，B)=2211xy求两点距离的步骤已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.（3）计算d=22xy（4）给出两点的距离d.通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离.例1.已知A(2，－4)，B(－2，3)，求d(A，B)。解：x1=2，x2=－2，y1=－4，y2=3，△x=x2－x1=－4，△y=y2－y1=7，∴d(A，B)=2265xy例2．已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求证：△ABC是等腰三角形。证明：因为d(A，B)=22(31)(42)8d(A，C)=22510220（）（）d(B，C)=22530420（）（）因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线，所以△ABC是等腰三角形。二.坐标法坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.用坐标法证题的步骤用坐标法证题的步骤（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；（2）设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.例3．已知□ABCD，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).D(b-a,c)C(b,c)B(a,0)AOyx证明：取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)，所以AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b－2a)2+c2，AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab=2(2a2+b2+c2－2ab)，AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab，所以：AC2+BD2=2(AB2+AD2).三.中点坐标公式已知A(x1，y1),B(x2，y2)两点，M(x，y)是线段AB的中点，则有121222xxxyyyM(x,y)B(x2,y2)A(x1,y1)Oyx（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。（2）若已知点P(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点坐标为P’(2x0－x，2y0－y).（3）利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为12312333xxxxyyyyC(x3,y3)M(x,y)B(x2,y2)A(x1,y1)Oyx例4．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。设D点的坐标为(x，y)，则235122202122xy解得04xy所以点D的坐标是(0，4).例5．已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，∴(－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，解得x=0或x=2,若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90°得|AB|2=|AC|2+|BC|2，可得y=0或y=4，而其中原点O(0，0)计算了两次，故选C.例6．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CE|.证明：如图，以B点为坐标原点，取AC所在的直线为x轴建立直角坐标系.设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a，0)，C(c，0)D，E，3(,)22aa3(,)22cc于是|AE|=22222344ccaacaacc|CD|=22223()(0)22acaaacc所以|AE|=|CD|.例7.求函数y=的最小值.22148xxx解：函数的解析式可化...