3.1二维形式的柯西不等式同步检测一、选择题1.已知x，y＞0，且xy＝1，则的最小值为()A.4B.2C.1D.答案：A解析：解答：，当且仅当时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.2.函数的最大值是()A.3B.C.D.4答案：C解析：解答：，当且仅当，1即时等号成立.∴y的最大值为分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.3.已知，x，y＞0，则x＋y的最小值是()A.B.C.D.5答案：A解析：解答：由，可得.当且仅当，即，时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.4.已知x＋y＝1，那么的最小值是()A.B.C.D.答案：B解析：解答：2.当且仅当，即，时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式构造变换计算即可.5.若，则2x＋y的最大值为()A.8B.4C.D.5答案：C解析：解答：.∴，当且仅当时等号成立，即.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.6.若a＋b＝1，则的最小值为()A.1B.2C.D.答案：C解析：解答：. ，3∴，又，以上两个不等式都是当且仅当时，等号成立.∴，当且仅当时等号成立，取到最小值.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是首项展开所给式子，如何结合条件根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.7.已知，则2x＋y的最大值是()A.B.2C.D.3答案：C解析：解答：当且仅当，即时等号成立，即取到最大值.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.二、填空题8.设xy＞0，则的最小值为__________.4答案：9解析：解答：原式.当且仅当时等号成立，即所求最小值为9.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.9.函数的最大值为__________.答案：5解析：解答： ，当且仅当，即时等号成立.∴函数y的最大值为5.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.10.设实数x，y满足，则2x＋y的最大值为__________.答案：解析：解答：由柯西不等式得5.当且仅当，即，时等号成立.因此的最大值为.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.三、解答题11.如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方形，使这3个正方形的面积和最小？答案：解：设这3段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，且3个正方形的面积和.因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，等号当且仅当时成立，所以x2＋y2＋z2有最小值，从而S有最小值.把绳子三等分后，这3段所围成的3个正方形的面积和最小.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给问题求得面积的表达式，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算求得其最小值即可.12.已知，，求证：.答案：证明：由柯西不等式，得.当且仅当时等号成立.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯6西不等式变换计算即可.13.设a，b，C为正数，求证：.答案：证明：由柯西不等式：，即，同理：，，将上面三个同向不等式相加得：，∴.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可.14.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.答案：解：如图，7设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是长方形ABCD的周长.由柯西不等式得.当且仅当，即时等号成立.此时，.即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给实际问题得到周长的表达式，然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.15.设a，b＞0，且a＋b＝2.求证：.答案：证明：根据柯西不等式，有.∴...
